Quelques remarques sur les familles canoniques de polynômes générateurs pour l'exponentielle

Langevin, Michel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 47 (1997), p. 1-48 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $K$ un corps commutatif. Chercher une série formelle $S(X,T)\in K[[X,T]]$ vérifiant $S(X+Y,T)/S(X,T)\in K[[Y,T]]$ conduit naturellement à étudier l’application $U(T)\rightarrow (U(T))^X$, $U(T)$ étant une unité de l’algèbre $K[[T]]$, et à ramener les solutions à la forme $S(X,T)=\sum \limits _{n\ge 0}H_n(X)T^n$, $(H_n(X))$ étant une suite de $K[X]$ vérifiant les “identités multinomiales” :

(μ)Hn(X1+...+Xk)=∑α1+...+αk=nHα1(X1)...Hαk(Xk)(n,k≥0).

Après mise à l’écart par des lemmes combinatoires du cas caract$(K)>0$ (les solutions sont triviales), on caractérise de plusieurs manières les solutions. On peut les faire coïncider avec l’ensemble NW des suites de polynômes (ou séries génératrices associées) vérifiant $(\mu )$. L’étude de NW se ramènera à celle du sous-ensemble ${\rm NW}^{\prime }$ formé des éléments tels que $H_0=1,\;H_1=X$ (ou $(\partial S/\partial T)(X,O)=X$, $S(X,O)=1$), lequel peut être muni de multiples structures affines ou de groupes qu’on explicitera.

Soit $\gamma $ (resp. d) l’application définie sur $K[X]$ par $\gamma (P(X))=P(X+Y)$ (resp. la dérivation); la formule de Taylor s’écrit donc $\gamma ={\rm exp}(Y{\rm d})$. L’ensemble des endomorphismes $f$ de $K[X]$ commutant avec d ou $\gamma $ (modulo l’extension des scalaires à $K[Y]$) et vérifiant $f(1)=0,\; f(X)=1$, est canoniquement en bijection avec ${\rm NW}^{\prime }$; en effet, on prouvera qu’à un tel $f$ est associée une base de Jordan $(H_n)$ appartenant à ${\rm NW}^{\prime }$ et pour laquelle $\gamma =\sum \limits _{n\ge 0} H_n(Y)f^n$ (réciproquement, une telle “formule de Taylor” caractérise $f$ ou les $(H_n)$). L’ensemble de ces endomorphismes $f$ est l’orbite de d dans l’action naturelle du groupe GSF$(K)$ des éléments de $K[[T]]$ inversibles pour la composition. Cette bijection “de Jordan” fait apparaître ${\rm NW}^{\prime }$ comme l’orbite de $(X^n/n!)$ dans l’action (que respecte cette bijection) de GSF$(K)$ sur ${\rm NW}^{\prime }$ définie par :$\big (B,\sum \limits _{n\ge 0}H_n(X)T^n\big )\rightarrow \sum \limits _{n\ge 0}H_n(X)(B^{-1}(T))^n=\sum \limits _{n\ge 0}K_n(X)T^n$. Des lemmes indépendants, d’algèbre linéaire ou de nature combinatoire, fournissent généralisations et interprétations dans divers domaines et des connexions avec des développements récents.

Abstract

We study the affine structure of a subset generating all the solutions of the functional equation $S(X+Y,T)/S(X,T)\in K[[Y,T]]$ where $K$ is any commutative field and $S(X,T)$ belongs to $K[[X,T]]$ (by combinatorial means, one must assume indeed ${\rm char}(K)=0$ to get non-trivial solutions). The elements of this subset ${\rm NW}^{\prime }$ are the formal power series $S(X,T)=\sum \limits _{n\ge 0}H_n(X)T^n$ where the sequence $(H_n(X))\in k[X]$ satisfies: $H_0=1,\; H_1=X$ and $H_n(X_1+\ldots {}+ X_k)=\sum \limits _{\alpha _1+\ldots {}+\alpha _k=n}H_{\alpha _1}(X_1)\ldots {} H_{\alpha _k} X_k)\;(n,k\ge 0).$ Let define an application $\gamma $ in $K[X]$ by $\gamma (P(X))=P(X+Y)$ and let d be the standard derivation. By using these notations, the classical Taylor’s formula can be written: $\gamma ={\rm exp}(Y{\rm d})$. We shall show that there is a canonical bijection between ${\rm NW}^{\prime }$ and the set of endomorphisms $f$ of the $K$-space $K[X]$ which commute with $\gamma $ or d and s.t. $f(1)=0,\;f(X)=1$. More precisely, for such a $f$, there exists $S(X,T)=\sum \limits _{n\ge 0} H_n(X)T^n\in {\rm NW}^{\prime }$ s.t. $\gamma =\sum \limits _{n\ge 0} H_n(Y)f^n$ (reciprocally, this is a “Taylor’s formula” which characterizes $f$ or $(H_n(X))$). The set of these endomorphisms $f$ is the orbit under the operation of the group GSF$(K)$ (the group of series $B(T)=\sum \limits _{n>0}b_nT^n$ with $b_n\in K$ and $b_1=1$ which are invertible for the composition of the formal power series) on ${\rm NW}^{\prime }$ defined by $\big (B,\sum \limits _{n\ge 0}H_n(X)T^n\big )\rightarrow \sum \limits _{n\ge 0} H_n(X) (B^{-1}(T))^n=\sum \limits _{n\ge 0}K_n(X)T^n$ (and $K_n(X)\in K[X]$). From several independent lemmas on linear algebra and combinatorial analysis, one get new developments in various domains: heights in several variables, geometry of polynomials ...

Détail

Publié le : 1997-01-01

MR 98d:11028 | Zbl 0865.39006

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1558

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