Transformation de Fourier-Deligne sur les groupes unipotents

Saibi, Moussa

Annales de l'Institut Fourier, Tome 46 (1996), p. 1205-1242 / Harvested from Numdam

Résumé

Dans cet article on étudie la transformation de Fourier-Deligne sur les schémas en groupes commutatifs unipotents connexes définis sur un corps parfait. On rappelle la construction du dual de Serre d’un groupe commutatif unipotent connexe et on définit la notion de paire duale admissible de schémas en groupes commutatifs unipotents connexes sur un corps parfait. On définit alors la transformation de Fourier-Deligne pour ces paires duales et on dégage les propriétés élémentaires de ce foncteur : l’involutivité, la commutation au changement de base et la compatibilité au produit de convolution. Einfin dans la dernière partie, on montre le résultat principal de l’article, à savoir que cette transformation commute à la dualité de Verdier et préserve la catégorie abélienne des faisceaux pervers.

Abstract

In this paper, we study the Fourier-Deligne transformation on commutative unipotent connected group schemes over a perfect field. We recall the construction of Serre’s dual for a commutative unipotent connected group scheme and we set the notion of admissible dual pairs for a commutative unipotent group schemes over a perfect field. Then we define the Fourier-Deligne transformation on these dual pairs and we study the elementary properties of this functor: the involutivity, the commutation with base change and compatibility with convolution product. Then, we prove the main result of this paper: we show that this transformation commutes with Verdier duality and preserves the abelian category of perverse sheaves.

Détail

Publié le : 1996-01-01

MR 98c:14014 | Zbl 0863.14026

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1546

Bibliographie

[1] A.A. Beilinson, I.N. Bernstein, P. Deligne, Faisceaux pervers, dans Analyse et topologie sur les espaces singuliers (I), Conférence de Luminy, juillet 1981, Astérisque, 100 (1982). | Zbl 0536.14011

[2] L. Begueri, Dualité sur un corps local à corps résiduel algébriquement clos, Bull. Soc. Math. de France, mémoire 108 (1980). | Numdam | MR 82k:12019 | Zbl 0502.14016

[3] N. Bourbaki, Algèbre commutative, Éléments de Mathématiques, chap. 8-9, Hermann. | Zbl 0579.13001

[4] P. Deligne, Lettre à D. Kazhdan, 29 novembre 1976.

[5] P. Deligne, La conjecture de Weil II, Publ. Math. I.H.E.S., 52 (1981). | Numdam

[6] M. Demazure, P. Gabriel, Groupes algébriques, vol. 1, Masson, Paris, 1970. | Zbl 0203.23401

[7] M. Demazure, P. Gabriel, Introduction to Algebraic Geometry and Algebraic Groups, North-Holland Mathematics Studies, 39 (1980). | MR 82e:14001 | Zbl 0431.14015

[8] T. Ekedahl, On the adic formalism, The Grothendieck Festschrift, vol. II, Progress in Math., Birkhäuser (1990). | MR 92b:14010 | Zbl 0821.14010

[9] R. Hartshorne, Residues and duality, Lecture notes in Math., vol. 20, Springer, Berlin-Heidelberg-New York (1966). | Zbl 0212.26101

[10] N.M. Katz, Travaux de Laumon, Séminaire Bourbaki, exposé 691 (1987-1988). | Numdam | Zbl 0698.14014

[11] N.M. Katz, G. Laumon, Transformation de Fourier et majoration des sommes exponentielles, Publ. Math. I.H.E.S., 62 (1985), 361-418. | Numdam | MR 87i:14017 | Zbl 0603.14015

[12] S. Lang, Algebraic groups over finite fields, Amer. J. Math., 78 (1956), 555-563. | MR 19,174a | Zbl 0073.37901

[13] G. Laumon, Transformation de Fourier, constantes d'équations fonctionnelles et conjecture de Weil, Publ. Math. I.H.E.S., 65 (1987), 131-210. | Numdam | Zbl 0641.14009

[14] D. Mumford, Abelian Varieties, Oxford University Press, Oxford, 1970. | MR 44 #219 | Zbl 0223.14022

[15] D. Mumford, Bi-extension of formal groups, in Algebraic Geometry, paper presented at the Bombay colloquium 1968, Oxford University Press, 1969. | Zbl 0216.33101

[16] J.-P. Serre, Corps Locaux, Hermann, Paris, 1968.

[17] J.-P. Serre, Groupes proalgébriques, Publ. Math. I.H.E.S., 7 (1960). | Numdam

[18] J.-P. Serre, Groupes algébriques et corps de classes, Hermann, Paris, 1968. | Zbl 0174.24301

[19] Sga1, Revêtement Etales et Groupe Fondamental, dirigé par A. Grothendieck, Lecture Notes in Math., vol. 224, Springer Verlag (1971). | Zbl 0234.14002

[20] Sga3, Schémas en groupes, dirigé par M. Demazure et A. Grothendieck, Lecture Notes in Math., vol. 151, 152, 153, Springer Verlag (1970). | Zbl 0212.52810

[21] Sga4, Théorie des Topos et cohomologie étales des schémas, dirigé par M. Artin, A. Grothendieck et J.-L. Verdier, Lecture Notes in Math., vol. 269, 270 et 305 Springer Verlag (1972, 1973). | Zbl 0237.00012

[22] Sga41/2, Cohomologie étale, par P. Deligne, avec la collaboration de J.-F. Boutot, A. Grothendieck, L. Illusie et J.-L. Verdier, Lecture Notes in Math., vol. 569. Springer Verlag (1977). | Zbl 0345.00010

[23] Sga5, Cohomologie l-adique et Fonction L, dirigé par A. Grothendieck, avec la collaboration de I. Bucur, C. Houzel, L. Illusie, J.-P. Jouanolou et J.-P. Serre, Lecture Notes in Math., vol. 225, Springer Verlag (1971).