Intégrales orbitales sur $GL(N)$ et corps locaux proches

Lemaire, Bertrand

Annales de l'Institut Fourier, Tome 46 (1996), p. 1027-1056 / Harvested from Numdam

Résumé

Soient $F$ un corps local non archimédien, $N$ un entier $\ge 2$, $\underline{G}=GL(N)$, $n$ un entier $\ge 1$ et ${\cal H}(\underline{G}(F),K_{F}^{n})$ l’algèbre de Hecke de $\underline{G}(F)$ relative au sous-groupe de congruence modulo ${\cal P}_{F}^{\,n}$ de $\underline{G}({\cal O}_{F})$. On prouve une formule explicite pour les intégrales orbitales elliptiques des fonctions de ${\cal H}(\underline{G}(F),K_{F}^{n})$. Grâce à cette formule, pour $\gamma \in \underline{G}(F)$ semi-simple régulier, on produit un entier $r=r(\gamma ,n)\ge n$ tel que pour tout corps local non archimédien $F^{\prime }$ $r$-proche de $F$ (i.e. tel qu’il existe un isomorphisme d’anneaux ${\cal O}_{F}/{\cal P}_{F}^{\,r}\simeq {\cal O}_{F^{\prime }}/{\cal P}_{F^{\prime }}^{\,r}$), il existe $\gamma ^{\prime } \in \underline{G}(F^{\prime })$ semi-simple régulier tel que les intégrales orbitales au point $\gamma $ de toutes les fonctions de ${\cal H}(\underline{G}(F),K_{F}^{n})$ coïncident, via la donnée d’un isomorphisme d’algèbres ${\cal H}(\underline{G}(F),K_{F}^{n})\simeq {\cal H}( \underline{G}(F^{\prime }),K_{F^{\prime }}^{n})$, avec celles des fonctions de ${\cal H}(\underline{G}(F^{\prime }),K_{F^{\prime }}^{n})$ au point $\gamma ^{\prime }$.

Abstract

Let $F$ be a local non-archimedean field, $N$ an integer $\ge 2$, $\underline{G}=GL(N)$, $n$ a positive integer and ${\cal H}(\underline{G}(F),K_{F}^{n})$ the Hecke algebra of $\underline{G}(F)$ with respect to the congruence subgroup modulo ${\cal P}_{F}^{\,n}$ of $\underline{G}({\cal O}_{F})$. We prove an explicit formula for the elliptic orbital integrals of functions in ${\cal H}(\underline{G}(F),K_{F}^{n})$. Thanks to this formula, for $\gamma \in \underline{G}(F)$ semi-simple regular, we produce an integer $r = r(\gamma ,n)\ge n$ such that for any local non-archimedean field $F^{\prime }$ $r$-close to $F$ (i.e. such that there exists an isomorphism of rings ${\cal O}_{F}/{\cal P}_{F}^{\,r}\simeq {\cal O}_{F^{\prime }}/ {\cal P}_{F^{\prime }}^{\,r}$), there exists $\gamma ^{\prime } \in \underline{G}(F^{\prime })$ semi-simple regular such that the orbital integrals at $\gamma $ of all functions in ${\cal H}(\underline{G}(F),K_{F}^{n})$ match, via a given isomorphism of algebras ${\cal H}(\underline{G}(F),K_{F}^{n})\simeq {\cal H}(\underline{G}(F^{\prime }),K_{F^{\prime }}^{n})$, those of functions in ${\cal H}(\underline{G}(F^{\prime }),K_{F^{\prime }}^{n})$ at $\gamma ^{\prime }$.

Détail

Publié le : 1996-01-01

MR 97i:22003 | Zbl 0853.22012

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1539

Bibliographie

[B] N. Bourbaki, Éléments de mathématique : Algèbre VIII, Hermann, Paris, 1958.

[BK] C. Bushnell, P. Kutzko, The admissible dual of GL(N) via compact open subgroups, Ann. of Math. Studies, 129, Princeton Univ. Press, Princeton, N.J., 1993. | MR 94h:22007 | Zbl 0787.22016

[Bo] A. Borel, Linear algebraic groups (second enlarged edition), Graduate Texts in Math., 126, Springer, New York, 1991. | MR 92d:20001 | Zbl 0726.20030

[C] L. Clozel, Orbital integrals on p-adic groups : a proof of the Howe conjecture, Ann. of Math., 129 (1989), 237-251. | MR 90h:22020 | Zbl 0675.22007

[D] P. Deligne, Les corps locaux de caractéristique p, limites de corps locaux de caractéristique zéro, in Représentations des groupes réductifs sur un corps local, Hermann, Coll. Travaux en cours, Paris (1984), 119-157. | Zbl 0578.12014

[HC1] Harish-Chandra, Harmonic analysis on reductive p-adic groups, Lectures Notes in Math., 162, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1970. | MR 54 #2889 | Zbl 0202.41101

[HC2] Harish-Chandra, A submersion principle and its applications in Papers dedicated to the memory of V.K. Patodi, Indian Academy of Sciences, Bangalore, and the Tata Institute of Fundamental Research, Bombay (1980), 95-102 (Collected papers IV, Springer-Verlag, New York-Berlin-Heidelberg-Tokyo, 1984, 439-446).

[HH] G. Henniart, R. Herb, Automorphic induction for GL(n) (over local non-archimedean fields), prépublication U. de Paris-Sud, à paraître dans Duke Math. J. (mais sans l'Appendix 1). | Zbl 0849.11092

[Ho] R. Howe, Harish-Chandra homomorphism for p-adic groups, Regional Conferences Series in Math., 59 (1985), Amer. Math. Soc., Providence, R.I. | MR 87h:22023 | Zbl 0593.22014

[K] D. Kazhdan, Representations of groups over close local fields, J. Analyse Math., 47 (1986), 175-179. | MR 88g:22018 | Zbl 0634.22010

[La] G. Laumon, Cohomology with compact supports of Drinfeld modular varieties, Cambridge Univ. Press, 1991.

[Le] B. Lemaire, Thèse, Univ. de Paris-Sud, 8 février 1994.

[S] G. Shimura, Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions, Princeton U. Press, Princeton, 1971. | Zbl 0221.10029

[V] M.-F. Vignéras, Caractérisation des intégrales orbitales sur un groupe réductif p-adique, J. Fac. Sci. U. of Tokyo, 28 (3) Sec. 14 (1982), 945-961. | MR 84b:22017 | Zbl 0499.22011