Classe de conjugaison du frobenius des variétés abéliennes à réduction ordinaire

Noot, Rutger

Annales de l'Institut Fourier, Tome 45 (1995), p. 1239-1248 / Harvested from Numdam

Résumé

Soient $X$ une variété abélienne sur un corps de nombres $E$ et $G$ son groupe de Mumford–Tate. Soit $v$ une valuation de $E$ et pour tout nombre premier $\ell $ tel que $v(\ell )=0$, soit $F_\ell \in G({\bf Q}_\ell )$ l’automorphisme de Frobenius (géométrique) de la cohomologie étale $\ell $-adique de $X$. On montre que si $X$ a une bonne réduction ordinaire en $v$, alors il existe $F\in G({\bf Q})$ tel que, pour tout $\ell $, $F_\ell $ soit conjugué à $F$ dans $G({\bf Q}_\ell )$. On montre un résultat analogue pour le frobenius de la cohomologie cristalline de la réduction de $X$ modulo $v$.

Abstract

Let $X$ be an abelian variety over a number field $E$ and let $G$ be its Mumford–Tate group. Let $v$ be a valuation of $E$ and for each prime number $\ell $ with $v(\ell )=0$, let $F_\ell \in G({\bf Q}_\ell )$ be the (geometric) Frobenius automorphism of the $\ell $-adic étale cohomology of $X$. It is shown that if $X$ has good and ordinary reduction at $v$, then there is an element $F\in G({\bf Q})$ such that, for each $\ell $, $F_\ell $ is conjugate to $F$ inside $G({\bf Q}_\ell )$. We prove a similar result for the frobenius on the crystalline cohomology of the reduction of $X$ modulo $v$.

Détail

Publié le : 1995-01-01

MR 96m:14064 | Zbl 0834.14026

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1494

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