Actions localement libres de groupes résolubles

Belliart, Michel; Birembaux, Olivier

Annales de l'Institut Fourier, Tome 44 (1994), p. 1519-1537 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Soient $G$ un groupe de Lie connexe de dimension $n - 1$ , $Φ$ une action localement libre de classe $C^{r} (r \geq 2)$ de $G$ sur une variété compacte $M$ de dimension $n \geq 3$ . Nous supposons qu’il existe dans l’algèbre de Lie de $G$ un champ $Y$ tel que les valeurs propres de $ad (Y)$ soient $α_{1}, ..., α_{n - 2}, 0$ avec $Re (α_{i}) < 0 \forall i$ . Alors, nous montrons que $Φ$ est $C^{r}$ -conjuguée à une “action modèle" de $G$ sur un espace homogène $H / Γ$ où $H$ est un groupe de Lie contenant $G$ . Si $n \geq 4$ , $H$ est uniquement déterminé par $G$ ; si $n = 3$ , il y a deux groupes $H$ possibles, et nous pouvons donc donner une classification complète. D’autre part, nos hypothèses impliquent que $G$ a une structure particulière, mais il existe quand même de nombreux exemples : notamment, la famille des groupes $G$ ayant cette propriété est continue en toute dimension $\geq 4$ ; pour un choix générique de $G$ , le groupe $H$ correspondant n’a aucun quotient compact de dimension $n$ , et ceci fournit une famille continue de groupes de Lie ne possédant aucune action de codimension 1 “suffisamment régulière” sur une variété compacte. Ces résultats sont liés à la théorie d’Anosov.

Let $G$ be a connected $(n - 1)$ -dimensional Lie group and $Φ$ a $C^{r} (r \geq 2)$ locally free action of $G$ on a compact $n$ -dimensional manifold ( $n \geq 3$ ). We assume that the Lie algebra of $G$ contains a field $Y$ such that the eigenvalues of $ad (Y)$ are $α_{1}, ..., α_{n - 2}, 0$ with $Re (α_{i}) < 0$ . Then, we show that $Φ$ is $C^{r}$ -conjugated to a homogeneous action of $G$ on $H / Γ$ where $H$ is a Lie group containing $H$ and $Γ$ a lattice of $H$ . We provide many examples, related to Anosov theory.

Publié le : 1994-01-01

MR 96j:58134 | Zbl 0816.58021

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1444

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Belliart, Michel; Birembaux, Olivier. Actions localement libres de groupes résolubles. Annales de l'Institut Fourier, Tome 44 (1994) pp. 1519-1537. doi : 10.5802/aif.1444. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1994__44_5_1519_0/

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