Homogenization of codimension 1 actions of ${\mathbb {R}}^n$ near a compact orbit

Craizer, Marcos

Annales de l'Institut Fourier, Tome 44 (1994), p. 1435-1448 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $\Phi $ une ${\Bbb R}^n$-action $C^\infty $ sur une variété orientable de dimension $n+1$. Supposons que $\Phi $ possède une orbite compacte isolée $T$ et soit $W$ un petit voisinage tubulaire de $T$. À l’aide d’un changement de variables $C^\infty $, nous pouvons écrire $W={\Bbb R}^n/{\Bbb Z}^n\times I$ et $T={\Bbb R}^n/{\Bbb Z}^n\times [0]$, où $I$ est un intervalle réel contenant 0.

Dans ce travail nous montrons que par un changement de variables $C^0$, qui est $C^\infty $ au-dehors de $T$, nous pouvons rendre $\Phi _{\vert W}$ invariante par les transformations du type $(x,z)\rightarrow (x+a,z),\,a\in {\Bbb R}^n$, où $x\in {\Bbb R}^n/{\Bbb Z}^n$ et $z\in I$. Comme corollaire nous pouvons décrire complètement la dynamique de $\Phi $ sur $W$.

Abstract

Let $\Phi $ be a $C^\infty \,{\Bbb R}^n$-action on an orientable $(n+1)$-dimensional manifold. Assume $\Phi $ has an isolated compact orbit $T$ and let $W$ be a small tubular neighborhood of it. By a $C^\infty $ change of variables, we can write $W={\Bbb R}^n/{\Bbb Z}^n\times I$ and $T={\Bbb T}^n\times [0]$, where $I$ is some interval containing 0.

In this work, we show that by a $C^0$ change of variables, $C^\infty $ outside $T$, we can make $\Phi _{\vert W}$ invariant by transformations of the type $(x,z)\rightarrow (x+a,z),\, a\in {\Bbb R}^n$, where $x\in {\Bbb R}^n/{\Bbb Z}^n$ and $z\in I$. As a corollary one cas describe completely the dynamics of $\Phi $ in $W$.

Détail

Publié le : 1994-01-01

MR 95m:58100 | Zbl 0820.34021 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1440

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