Sur la structure des groupes de classes relatives. Avec un appendice d'exemples numériques par T. Berthier

Gras, Georges

Annales de l'Institut Fourier, Tome 43 (1993), p. 1-20 / Harvested from Numdam

Résumé

Suite aux travaux de R. Schoof et de H.W. Lenstra–R. Schoof, nous donnons une méthode permettant de trouver, pour tout $p$ premier ne divisant pas $[F:{\Bbb Q}]$, un système de générateurs du $p$-groupe des classes relatives du corps abélien imaginaire $F$, ceci avec la seule connaissance de nombres de Bernoulli $B_1(\psi ^{-1})$. Des exemples numériques sont donnés pour $p=3$ et $p=5$, dans le cadre des extensions cycliques de degré 2 et 4. Le premier exemple de $p$-groupe des classes possédant une $\chi $-composante non monogène (pour un caractère ${\Bbb Q}_p$-irréductible $\chi $ impair non quadratique) a été trouvé par T. Berthier avec $p=5$, et le corps quartique cyclique de conducteur $37\times 541$ contenant ${\Bbb Q}(\sqrt{37}$).

Abstract

Following results by R. Schoof and by H.W. Lenstra–R. Schoof, we give a method allowing to find, for all prime $p$ not dividing $[F:{\Bbb Q}]$, a system of generators of the relative $p$-class group of the imaginary abelian field $F$, only with the knowledge of Bernoulli numbers $B_1(\psi ^{-1})$. Numerical examples are given for $p=3$ and $p=5$ about cyclic extensions of degrees 2 and 4. The first example of $p$-class group having a non cyclic $\chi $-component (for a ${\Bbb Q}_p$-irreducible odd and not quadratic character $\chi $) has been found by T. Berthier for $p=5$, and the cyclic quartic field of conductor $37\times 51$ containing ${\Bbb Q}(\sqrt{37}$).

Détail

Publié le : 1993-01-01

MR 94i:11091 | Zbl 0786.11065

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1319

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