Sur certains sous-ensembles de l'espace euclidien

Charbonnel, Jean-Yves

Annales de l'Institut Fourier, Tome 41 (1991), p. 679-717 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $\widetilde{\cal A}_ m$ l’algèbre des fonctions sur ${\bf R}^ n$ engendrée par les fonctions polynomiales et les exponentielles de formes linéaires. La partie $S$ de ${\bf R}^n$ appartient à ${\cal P}_n$ si et seulement s’il existe $m$ et $F$ dans $\widetilde{\cal A}_{n+m}$ pour lesquels $S$ est l’image par la projection canonique de ${\bf R}^{n+m}$ sur ${\bf R}^n$, de l’ensemble des zéros de $F$. Soit $\tilde{\cal P}_ n$ le plus petit sous-ensemble de parties de ${\bf R}_n$ qui contient ${\cal P}_n$, l’adhérence de ses éléments et les images par la projection canonique de ${\bf R}^n$ qui contient ${\cal P}_ n$, l’adhérence de ses éléments et les images par la projection canonique de ${\bf R}^{n+m}$ sur ${\bf R}^n$, des éléments de $\tilde{\cal P}_{n+m}$. Le but principal de ce mémoire est de montrer que pour tout $n$, $\widetilde{\cal P}_{n}$ est stable par intersection finie, par réunion finie et par passage complémentaire.

Abstract

Let $\widetilde{\cal A}_ m$ be the algebra of functions on ${\bf R}^ m$ generated by polynomial functions and exponentials of linear forms. The subset $S$ in ${\bf R}^ n$ belongs to ${\cal P}_ n$ if and only if there exist $m$ and $F$ in $\widetilde{\cal A}_{n+m}$ for which $S$ is the image of the zerosubset of $F$ by the canonical projection of ${\bf R}^{n+m}$ onto ${\bf R}^ n$. Let $\widetilde{\cal P}_ n$ be the smallest subset of parts in ${\bf R}^ n$ which contains ${\cal P}_ n$, their closures and the images by the canonical projection of the elements in $\widetilde{\cal P}_{n+m}$. The main goal of this article is to prove that $\widetilde{\cal P}_{n+m}$ contains the complementary part of each element in $\tilde{\cal P}_{n+m}$, the union and the intersection of every finite family in $\widetilde{\cal P}_{n+m}$.

Détail

Publié le : 1991-01-01

MR 92m:14074 | Zbl 0744.14036 | 2 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1270

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