Partial differential operators depending analytically on a parameter

Mantlik, Frank

Annales de l'Institut Fourier, Tome 41 (1991), p. 577-599 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $P(\lambda ,D)$ un opérateur différentiel à coefficients constants sur ${\bf R}^n$ dépendant analytiquement d’un paramètre $\lambda $ dans une variété complexe $\Lambda $. Supposons que, pour deux valeurs quelconques $\lambda _1,\lambda _2$ du paramètre, $P(\lambda _1,D)$ et $P(\lambda _2,D)$ sont également forts, Il a été démontré par F. Trèves que cette hypothèse est suffisante et nécessaire (si $\Lambda $ est connexe) pour établir l’existence locale de fonctions analytiques ${\frak f}_\lambda $ de $\lambda $ satisfaisant à l’équation $P(\lambda ,D){\frak f}_\lambda \equiv \delta $ ($\delta =$ mesure de Dirac : ${\frak f}_\lambda $ est donc une solution élémentaire de $P(\lambda ;D)$). Alors L. Hörmander a posé la question si ${\frak f}_\lambda $ peut être choisi analytique dans $\Lambda $ entière.

Dans le travail présent nous considérons plus généralement une fonction analytique ${\frak g}_\lambda $ de $\lambda $ à valeurs dans un espace de distributions d’ordre fini. Nous allons construire une fonction analytique ${\frak f}_\lambda $ telle que $P(\lambda ,D){\frak f}_\lambda = {\frak g}_\lambda $ pour chaque $\lambda \in \Lambda $.

Abstract

Let $P(\lambda ,D)=\sum _{\vert \alpha \vert \le m}a_{\alpha }(\lambda )D^{\alpha }$ be a differential operator with constant coefficients $a_{\alpha }$ depending analytically on a parameter $\lambda $. Assume that the family $\lbrace $ P($\lambda $,D)$\rbrace $ is of constant strength. We investigate the equation $P(\lambda ,D){\frak f}_{\lambda }\equiv g_{\lambda }$ where ${\frak g}_{\lambda }$ is a given analytic function of $\lambda $ with values in some space of distributions and the solution ${\frak f}_{\lambda }$ is required to depend analytically on $\lambda $, too. As a special case we obtain a regular fundamental solution of P($\lambda $,D) which depends analytically on $\lambda $. This result answers a question of L. Hörmander.

Détail

Publié le : 1991-01-01

MR 92m:35026 | Zbl 0729.35011

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1266

Bibliographie

[G] H. Grauert, On Levi's problem and the embedding of real-analytic manifolds, Ann. Math., 68, 2 (1958), 460-472. | MR 20 #5299 | Zbl 0108.07804

[H1] L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators I, Grundlehren d. mathem. Wissensch., 256, Springer (1983). | MR 85g:35002a | Zbl 0521.35001

[II2] L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators II, Grundlehren d. mathem. Wissensch., 257, Springer (1983). | MR 85g:35002b | Zbl 0521.35002

[L] J. Leiterer, Banach coherent analytic Fréchet sheaves, Math. Nachr., 85 (1978), 91-109. | MR 80b:32026 | Zbl 0409.32017

[M] F. Mantlik, Fundamental solutions for hypoelliptic differential operators depending analytically on a parameter, to appear. | Zbl 0785.35008

[T1] F. Trèves, Un théorème sur les équations aux dérivées partielles à coefficients constants dépendant de paramètres, Bull. Soc. Math. France, 90 (1962), 473-486. | Numdam | MR 26 #6582 | Zbl 0113.30901

[T2] F. Trèves, Fundamental solutions of linear partial differential equations with constant coefficients depending on parameters, Am. J. Math., 84 (1962), 561-577. | MR 26 #6580 | Zbl 0121.32201