Sur la conjecture de Chudnovsky-Demailly et les singularités des hypersurfaces algébriques

Azhari, Abdelhak

Annales de l'Institut Fourier, Tome 40 (1990), p. 103-116 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $S$ une partie finie de $\mathbf{ P}^ n$, $t$ un entier positif et $\omega _ t(S)$ le plus petit degré des hypersurfaces de $\mathbf{ P}^ n$ ayant en chaque point de S une singularité de multiplicité $\ge t$. Un théorème d’existence de J.-P. Demailly concernant le prolongement des fonctions analytiques définies au voisinage d’une sous-variété linéaire de $\mathbf{ C}^ n$ nous permet d’obtenir des minorations fines de $\omega _ t(S)/t$ pour tout $t$. En particulier, nous montrons

(ωt1(S)+n-a-1)/(t1+n-1)≤ωt(S)/t

où $a$ est la dimension de l’ensemble des points singuliers non à croisements normaux du diviseur de P lorsque deg P$=\omega _ t(S)$. Ceci redonne le résultat de H. Esnault et E. Viehweg par une méthode analytique assez élémentaire et contribue à renforcer la vraisemblance de la conjecture de Chudnovsky-Demailly.

Abstract

Let $S$ be a finite set in the complex projective space $\mathbf{ P}^ n$, and $t$ a posoitive integer and let $\omega _ t(S)$ be the smallest degree of hypersurfaces in $\mathbf{ P}^ n$ having at each point of $S$ a singularity of multiplicity $\ge t$. Thanks to an existence theorem due to J.-P. Demailly, relative to the extension of analaytic functions defined on a neighbourhood of a linear subvariety of $\mathbf{ C}^ n$, we obtain fine lower bounds on $\omega _ t(S)/t$ for every $t$. In particular we find:

(ωt1(S)+n-a-1)/(t1+n-1)≤ωt(S)/t

in which $a$ is the dimension of the set of singular points of the divisor of $P$ with non normal crossings, when deg$P=\omega _ t(S)$. This gives an elementary analytic proof of H. Esnault and E. Viehweg’s result and gives substantial support to the Chudnovsky-Demailly conjecture.

Détail

Publié le : 1990-01-01

MR 91e:32025 | Zbl 0688.32022

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1205

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