Dilatations des commutants d'opérateurs pour des espaces de Krein de fonctions analytiques

Alpay, Daniel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989), p. 1073-1094 / Harvested from Numdam

Résumé

Soient ${\cal K}_1$ et ${\cal K}_2$ deux espaces de Krein de fonctions analytiques dans le disque unité invariants pour l’opérateur de déplacement à gauche $R_0(R_0f(z)=(f(z)-f(0))/z)$ et soit $A$ un opérateur linéaire continu de ${\cal K}_1$ dans ${\cal K}_2$ dont l’adjoint commute avec $R_0$. Nous étudions les dilatations $B$ de $A$ qui conservent cette propriété de commutation et pour lesquelles les formes hermitiennes définies par $I-AA^*$ et $I-BB^*$ ont le même nombre de carrés négatifs. Nous obtenons ainsi une version du théorème de dilatation des commutants d’opérateurs dans le cadre d’espaces de Krein de fonctions analytiques. Pour démontrer ce résultat, nous supposons que le graphe de l’opérateur $A^*$, dans la métrique définie par $I-AA^*$, est un espace de Pontryagin à noyau reproduisant, dont le noyau reproduisant est de la forme $(J-\Theta (z)J\Theta ^*(\omega ))/(1-z\omega ^*)$, où $J$ est une matrice satisfaisant $J=J^*=J^{-1}$ et où $\Theta $ est analytique dans le disque unité et $J$-unitaire sur cercle unité.

Abstract

Let ${\cal K}_1$ and ${\cal K}_2$ be two Krein spaces of functions analytic in the unit disk and invariant for the left shift operator $R_0(R_ 0f(z)=(f(z)-f(0))/z)$, and let $A$ be a linear continuous operator from ${\cal K}_1$ into ${\cal K}_2$ whose adjoint commutes with $R_0$. We study dilations of $A$ which preserve this commuting property and such that the Hermitian forms defined by $I-AA^*$ and $I-BB^*$ have the same number of negative squares. We thus obtain a version of the commutant lifting theorem in the framework of Krein spaces of analytic functions. To prove this result we suppose that the graph of the operator $A^*$, in the metric defined by $I-AA^*$, is a reproducing kernel Pontryagin space of analytic functions whose reproducing kernel is of the form $(J-\Theta (z)J\Theta ^*(\omega ))/(1-z\omega ^*)$ where $J$ is a matrix subject to $J=J^*=J^{-1}$ and where $\Theta $ is analytic in the unit disk and $J$-unitary on the unit circle.

Détail

Publié le : 1989-01-01

MR 91a:47045 | Zbl 0674.46019

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1200

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