Quotients de fonctions entières et quotients de Hadamard de séries formelles

Bézivin, Jean-Pierre

Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989), p. 737-752 / Harvested from Numdam

Résumé

Dans cet article, nous démontrons deux résultats. L’un concerne les séries $f^{\prime }(z)=\sum a(n)z^ n/n!$ telles que $\sum a(n)x^n$ est une série algébrique. Soit $AE$ cet ensemble de fonctions. Si $f$ appartient à $AE$, et si $g(z)$ est un polynôme-exponentiel tel que $h(z)=f(z)/g(z)$ est entière, alors il existe un polynôme $P(z)$ tel que $P(z)h(z)$ appartienne à $AE$.

L’autre résultat est parallèle au premier. Soit $\sum u(n)x^n$ une série algébrique à coefficients dans un corps ${\Bbb K}$ (qui est soit ${\Bbb K}$, soit un corps quadratique imaginaire). Soit $\sum v(n)x^n$ une série rationnelle à coefficients dans ${\Bbb K}$. Avec quelques conditions restrictives sur la suite $v(n)$, on montre que si $a(n)=u(n)/v(n)$ est un entier de ${\Bbb K}$ pour tout $n$, alors la série $\sum a(n)x^n$ est une série algébrique.

Abstract

In this paper, we prove two results. The first is about power series $f(z)=\sum a(n)z^n/n!$ such that $\sum a(n)z^n$ is an algebraic power series. Note by $AE$ this set of functions. Let $f$ in $AE$, $g$ an exponential-polynomial, and suppose that $h(z)=f(z)/g(z)$ is an entire functions. Then there exist a polynomial $P$ such that $P(z)h(z)$ belongs to $AE$.

The other result is the following. Let $\sum u(n)x^n$ be an algebraic power series, and $\sum v(n)x^n$ a rational power series with coefficients in ${\Bbb K}$ (${\Bbb K}$ is either ${\Bbb Q}$, or a quadratic imaginary extension of ${\Bbb Q}$). Suppose that $a(n)=u(n)/v(n)$ is an algebraic integer of ${\Bbb K}$ for all $n$. With some additional conditions on the sequence $v(n)$, we show that $\sum a(n)x^n$ is also an algebraic power series.

Détail

Publié le : 1989-01-01

MR 90k:30002 | Zbl 0701.30004 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1185

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