Partial sums of Taylor series on a circle

Katsoprinakis, E. S. ; Nestoridis, V. N.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989), p. 715-736 / Harvested from Numdam

Résumé

Ayant comme prototype la famille des cercles définis par trois sommes partielles d’une série de puissances, nous sommes amenés à considérer des cercles $C(z)$, $|z|=1$, comme suit:

Soient $B$, $A$, $Q$ trois polynômes et $\lambda >0$ un nombre entier, tels que, $A(0)Q(0)\ne 0$, deg$A< {\rm deg}Q$ et $\lambda >{\rm deg}B$; nous supposerons de plus que les polynômes $A$ et $Q$ n’ont pas de facteurs communs. Nous désignons par $C(z)$, $\vert z\vert =1$, le cercle avec centre $B(z)+z^\lambda A(z)Q(z)^{-1}$ et rayon $\vert z^\lambda A(z)Q(z)^{-1}\vert $. Étant donné $P$ un polynôme, nous disons que $R(z)=B(z)+z^\lambda P(z)$ est une “continuation”, si $R(z)\in C(z)$ pour une infinité de points $z$, $\vert z\vert =1$.

Nous démontrons que toute continuation est une somme de Taylor de $B(z)+z^\lambda A(z)Q(z)^{1}$. De plus, le nombre des continuations est infini, si et seulement si, le polynôme $Q$ est un facteur non constant d’un polynôme de la forme $1-(e^{i\theta }z)^\rho $, avec $\theta \in R$ et $\rho >0$.

Les résultats précédents répondent par l’affirmative à une question de J.-P. Kahane et impliquent des versions plus fortes du résultat principal de [Katsoprinakis, Arkiv for Matematik].

Abstract

We characterize the power series $\sum ^{\infty }_{n=0}c_ nz^n$ with the geometric property that, for sufficiently many points $z$, $\vert z\vert =1$, a circle $C(z)$ contains infinitely many partial sums. We show that $\sum ^{\infty }_{n=0}c_ nz^n$ is a rational function of special type; more precisely, there are $t\in {\Bbb R}$ and $n_ 0$, such that, the sequence $c_ne^{{\rm int}}$, $n\ge n_0$, is periodic. This result answers in the affirmative a question of J.-P. Kahane and furnishes stronger versions of the main results of [Katsoprinakis, Arkiv for Matematik]. We are led to consider special families of circles $C(z)$ with center $g(z)$ and investigate the possibility for a polynomial $R(z)$ to satisfy $R(z)\in C(z)$ for infinitely many $z$, $\vert z\vert =1$. These polynomials are related to the partial sums of the Taylor expansion of the center function $g(z)$. We also give necessary and sufficient conditions for the existence of infinitely many such polynomials $R(z)$.

Détail

Publié le : 1989-01-01

MR 90k:30004 | Zbl 0701.30003 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1184

Bibliographie

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