Réarrangement, inégalités maximales et théorèmes ergodiques fractionnaires

Broise, Michel ; Déniel, Yves ; Derriennic, Yves

Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989), p. 689-714 / Harvested from Numdam

Résumé

Étant donné un semi-flot mesurable $(\theta _ x)_{x\in {\Bbb R}^ d_+}$ préservant une mesure de probabilité $\mu $ sur un espace $\Omega $, nous considérons les moyennes ergodiques $ t^{-d}\int _{{\Bbb R}^ d_+}\phi (x/t)f\circ \theta _ xdx$ où $\phi $ est un “poids” à support compact sur ${\Bbb R}^ d_+$, c’est-à-dire que $\phi $ vérifie $\phi \ge 0$ et $\int \phi (x)dx=1$. Nous démontrons la convergence p.p. de ces moyennes quand $t\rightarrow +\infty $ si $f$ appartient à l’espace de Lorentz défini par le poids $\phi ^*$ qui est le réarrangé décroissant de $\phi $. En particulier, pour $d=1$, on obtient la convergence p.p. des moyennes de Césarò d’ordre $\alpha $ $\alpha t^{-\alpha }\int ^{t}_{0}(t- x)^{\alpha -1}f\circ \theta _ x dx,$ $\alpha >0,$ si $f$ appartient à l’espace de Lorentz usuel $L(1/\alpha ,1)$. Nous démontrons aussi des résultats similaires pour des moyennes discrètes. Le point crucial de la démonstration est une nouvelle inégalité maximale ergodique.

Enfin nous montrons que pour un poids $\phi $ qui a une forme “croissante”, en particulier pour les moyennes $(C,\alpha )$ avec $0< \alpha \le 1$, l’espace de Lorentz est le plus grand espace invariant par réarrangement équimesurable, pour lequel cette convergence p.p. est vraie.

Abstract

Given a measurable semi-flow $(\theta _x)_{x\in {\Bbb R}^d_+}$ preserving a probability measure $\mu $ on a space $\Omega $, we consider the ergodic averages $t^{-d}\int _{{\Bbb R}^d_+}\varphi (x/t)f\circ \theta _xdx$ where $\varphi $ is a compactly supported “weight” on ${\Bbb R}^d_+$, that is $\varphi \ge 0$ and $\int \varphi (x)dx=1$. We prove the a.e. convergence of these averages when $t\rightarrow +\infty $ if $f$ belongs to the Lorentz space defined by the weight $\varphi ^*$ which is the decreasing rearrangement of $\varphi $. With $d=1$ we obtain in particular the a.e. convergence of the Cesáro-$\alpha $ averages $\alpha t^{-\alpha }\int ^t_0(t-x)^{\alpha -1}f\circ \theta _xdx$, $\alpha >0$, if $f$ belongs to the usual Lorentz space $L(1/\alpha ,1).$ We prove also the similar results for discrete averages. The main step of the proof is a new maximal ergodic inequality. At last we show that for an “increasingly shaped” weight $\varphi $, in particular for the $(C,\alpha )$ averages with $0< \alpha \le 1$, the Lorentz space is the largest space, invariant under equimesurable rearrangement, for which this a.e. convergence holds.

Détail

Publié le : 1989-01-01

MR 90m:28013 | Zbl 0673.60055

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1183

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