On deformations of holomorphic foliations

Girbau, Joan ; Nicolau, Marcel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989), p. 417-449 / Harvested from Numdam

Résumé

Pour un feuilletage holomorphe non singulier ${\cal F}$ sur une variété compacte $M$, nous comparons les espaces versels $K$ et $K^{\rm tr}$ des déformations de ${\cal F}$ en feuilletages holomorphes et en feuilletages transversalement holomorphes, respectivement. Pour cela, nous prouvons l’existence d’un déploiement versel de ${\cal F}$ paramétré par un espace analytique $K^f$ isomorphe à $\pi ^{-1}(0)\times \Sigma $, où $\Sigma $ est lisse et $\pi :K\rightarrow K^f$ est le morphisme d’oubli. On montre que l’application $\pi $ est un épimorphisme dans deux situations : (i) si $H^2(M,\Theta ^f_{\cal F})=0$, où $\Theta ^f_{\cal F}$ est le faisceau des germes de champs vectoriels holomorphes et tangents à ${\cal F}$, et (ii) s’il existe un feuilletage holomorphe ${\cal F}^\pitchfork $ transverse et supplémentaire de ${\cal F}$. Quand les conditions (i) et (ii) sont toutes deux vérifiées, on a $K\cong K^f\times K^{\rm tr}$.

Abstract

Given a non-singular holomorphic foliation ${\cal F}$ on a compact manifold $M$ we analyze the relationship between the versal spaces $K$ and $K^{\rm tr}$ of deformations of ${\cal F}$ as a holomorphic foliation and as a transversely holomorphic foliation respectively. With this purpose, we prove the existence of a versal unfolding of ${\cal F}$ parametrized by an analytic space $K^f$ isomorphic to $\pi ^{-1}(0)\times \Sigma $ where $\Sigma $ is smooth and $\pi $ : $K\rightarrow K^{\rm tr}$ is the forgetful map. The map $\pi $ is shown to be an epimorphism in two situations: (i) if $H^2(M,\Theta ^ f_{{\cal F}})=0$, where $\Theta ^ f_{{\cal F}}$ is the sheaf of germs of holomorphic vector fields tangent to ${\cal F}$, and (ii) if there exists a holomorphic foliation ${\cal F}^\pitchfork $ transverse and supplementary to ${\cal F}$. When the conditions (i) and (ii) are both fulfilled then $K\cong K^f\times K^{\rm tr}$.

Détail

Publié le : 1989-01-01

MR 91b:32021 | Zbl 0659.32019

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1172

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