Sur l’espace de modules des faisceaux semi stables de rang 2, de classes de Chern (0,3) sur ${\mathbb {P}}_2$

Hulek, K.; Potier, Joseph Le

Sur l’espace de modules des faisceaux semi stables de rang 2, de classes de Chern (0,3) sur

ℙ_{2}

Hulek, K. ; Potier, Joseph Le

Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989), p. 251-292 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

L’espace de modules $M = M (0, 3)$ des faisceaux semi-stables de rang 2, de classes de Chern (0,3) sur le plan projectif $ℙ_{2}$ est une variété projective irréductible et lisse de dimension 9. Dans $M$ , les points qui ne proviennent pas d’un faisceau localement libre constituent une hypersurface $\partial M$ . Dans cet article, nous montrons que toute surface complété de $M$ rencontre la frontière $\partial M$ , autrement dit qu’il n’existe pas de famille de fibrés vectoriels paramétrée par une surface complète de $M$ . La démonstration repose sur la construction d’un morphisme birationnel $φ : M \to Gr$ de $M$ dans la grassmannienne Gr des réseaux de coniques de $ℙ_{2}$ , ce qui nous permet d’identifier $M$ avec l’éclaté d’une surface de Gr. Ceci conduit à une description précise de l’algèbre de cohomologie de $M$ , description utilisée pour déterminer quelle pourrait être la classe fondamentale des surfaces complètes de $M$ ne rencontrant pas $\partial M$ et aboutir à une contradiction.

The moduli space of semi-stable sheaves of rank-2 and Chern classes (0,3) on the projective plane $ℙ_{2}$ , denoted by $M = M (0, 3)$ , is a smooth irreducible projective variety of dimension 9. In $M$ , the points which come from sheaves which are not locally free give a hypersurface $\partial M$ . In this article we show that all complete surfaces in $M$ must meet the boundary $\partial M$ ; in other words, there does not exist a family of vector bundles which is parametrized by a complete surface in $M$ . The essential point of the proof is the construction of a birational morphism $Φ : M \to, Gr$ from $M$ to the grassmannian Gr of nets of conics in $ℙ_{2}$ ; this allows us to identify $M$ with a blow-up of Gr along a surface. This gives us a precise description of cohomology algebra of $M$ and we use this to determine the fundamental class of a complete surface in $M$ which does not meet $\partial M$ . We then show that this value of the fundamental class can not arise.

Publié le : 1989-01-01

Zbl 0658.14008 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1167

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Hulek, K.; Potier, Joseph Le. Sur l’espace de modules des faisceaux semi stables de rang 2, de classes de Chern (0,3) sur ${\mathbb {P}}_2$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989) pp. 251-292. doi : 10.5802/aif.1167. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1989__39_2_251_0/

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