Rationalité et valeurs de fonctions $L$ en cohomologie cristalline

Étesse, Jean-Yves

Rationalité et valeurs de fonctions

L

en cohomologie cristalline

Étesse, Jean-Yves

Annales de l'Institut Fourier, Tome 38 (1988), p. 33-92 / Harvested from Numdam

Access to full text
Full (PDF)
Full (DJVU)

Résumé
Abstract

Dans l’exposé Bourbaki 409, Katz conjecture la méromorphie $p$ -adique de la fonction $L (X, E, t)$ attachée à une variété $X$ lisse sur un corps fini $F_{q}$ ( $q = p^{a}$ ) et à un $F$ -cristal $E$ sur $X$ . Si $X$ est propre et lisse sur $F_{q}$ nous prouvons que $L$ est rationnelle et fournie par l’expression habituelle utilisant l’action du Frobenius sur la cohomologie cristalline à coefficients dans $E$ ; ce résultat n’était connu, via les “conjectures de Weil”, que pour des $F$ -cristaux unités particuliers: ceux provenant d’une représentation de $π_{1} (X)$ factorisable par un quotient fini. Ce théorème nécessite le développement d’un formalisme de classe de cohomologie associée à un morphisme de cristaux, généralisant la classe fondamentale d’un cycle algébrique, et amenant à une formule des traces de Lefschetz.

Lorsque $E$ est un $F$ -cristal unité le lien entre cohomologie cristalline et complexe de De Rham-Witt à coefficients dans $E$ permet alors d’interpréter les zéros et pôles de $L$ de la forme $t = q^{- r}$ , $r$ entier. Sous certaines hypothèses ce complexe fournit également des équivalents de $L$ au voisinage des pôles précédents : ces résultats généralisent ceux de Milne pour les fonctions zêta.

In his Bourbaki talk 409, Katz conjectured the $p$ -adic meromorphy of the function $L (X, E, t)$ attached to a smooth variety $X$ over a finite field $F_{q} (q = p^{a})$ and to an $F$ -crystal $E$ on $X$ . If $X$ is proper and smooth over $F_{q}$ we prove that $L$ is rational and given by the usual formula using the action of Frobenius on crystalline cohomology with coefficients in $E$ ; this result was only known, via “Weil conjectures”, for particular unit-root $F$ -crystals: those issued of a representation of $π_{1} (X)$ through a finite quotient. The proof of the theorem involves the formalism of a cohomology class associated to a morphism of crystals, extending the fundamental class of an algebraic cycle, and leading to a Lefschetz trace formula. When $E$ is a unit-root $F$ -crystal the link between crystalline cohomology and De Rham-Witt complex with coefficients in $E$ enables us to interpret zeroes and poles of $L$ of the form $t = q^{- r}$ , $r$ an integer. Under certain hypotheses this complex yields also equivalents of the $L$ function in the neighbourhood of the preceding poles: these results extend those of Milne for zeta functions.

Publié le : 1988-01-01

MR 90c:11042 | Zbl 0624.14016 | 3 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1149

@article{AIF_1988__38_4_33_0,
     author = {\'Etesse, Jean-Yves},
     title = {Rationalit\'e et valeurs de fonctions $L$ en cohomologie cristalline},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     volume = {38},
     year = {1988},
     pages = {33-92},
     doi = {10.5802/aif.1149},
     mrnumber = {90c:11042},
     zbl = {0624.14016},
     language = {fr},
     url = {http://dml.mathdoc.fr/item/AIF_1988__38_4_33_0}
}

Étesse, Jean-Yves. Rationalité et valeurs de fonctions $L$ en cohomologie cristalline. Annales de l'Institut Fourier, Tome 38 (1988) pp. 33-92. doi : 10.5802/aif.1149. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1988__38_4_33_0/

Bibliographie

[B-N] P. Bayer, J. Neukirch, On values of Zeta Functions and l-adic Euler characteristics, Invent. Math., 50 (1978), 35-64. | MR 80b:12009 | Zbl 0409.12018

[B 1] P. Berthelot, Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique p > 0, Lecture Notes in Math., n° 407, Springer Verlag, 1974. | MR 52 #5676 | Zbl 0298.14012

[B 2] P. Berthelot, Sur le "théorème de Lefschetz faible" en cohomologie cristalline, C.R.A.S. Paris, t. 277, 12 nov. 1973, série A, p. 955-958. | MR 50 #2173 | Zbl 0268.14007

[B 3] P. Berthelot, Le théorème de dualité plate pour les surfaces, d'après J. S. Milne, dans "Surfaces algébriques", Lecture Notes in Math., n° 868, Springer Verlag, 1981. | MR 84j:14028 | Zbl 0469.14010

[B-M] P. Berthelot, W. Messing, Théorie de Dieudonné cristalline I, Astérisque, 63 (1979), 17-38. | MR 82f:14041 | Zbl 0414.14014

[B-O 1] P. Berthelot, A. Ogus, Notes on Crystalline Cohomology, Mathematical Notes, n° 21, Princeton University Press, (1978). | MR 58 #10908 | Zbl 0383.14010

[B-O 2] P. Berthelot, A. Ogus, F-isocrystals and De Rham Cohomology I, Invent. Math,. 72 (1983), 159-199. | MR 85e:14025 | Zbl 0516.14017

[Bour] N. Bourbaki, Algèbre et Algèbre commutative, Hermann.

[C-E] H. Cartan, S. Eilenberg, Homological Algebra, Princeton University Press, 1956. | MR 17,1040e | Zbl 0075.24305

[Cr 1] R. Crew: L-functions of p-adic characters and geometric Iwasawa theory, Invent. Math., 88 (1987), 395-403. | MR 89g:11049 | Zbl 0615.14013

[Cr 2] R. Crew, F-isocrystals and p-adic representations. Algebraic geometry-Bowdoin 1985, PSPM, 46, Part 2 (1987), 111-138. | MR 89c:14024 | Zbl 0639.14011

[C-S-S] J.-L. Colliot-Thelene, J.-J. Sansuc, C. Soulé, Torsion dans le groupe de Chow de codimension deux, Duke Math. Journal, vol. 50, n° 3 (sept. 1983). | MR 85d:14010 | Zbl 0574.14004

[D] P. Deligne, La conjecture de Weil I, Publ. Math. I.H.E.S., n° 43. | Numdam

[E 0] J.-Y. Etesse, Complexe de De Rham-Witt à coefficients dans un F-cristal unité et dualité plate pour les surfaces. Thèse 3e cycle, Rennes 1981.

[E 1] J.-Y. Etesse, Complexe de De Rham-Witt à coefficients dans un cristal Compositio Math., 66 (1988), 57-120. | Numdam | MR 89d:14022 | Zbl 0708.14013

[E 2] J.-Y. Etesse, Dualité plate pour les surfaces, à coeffients dans un groupe de type multiplicatif. Preprint Rennes. (A paraître au Bulletin de la SMF.). | Numdam

[EGA] A. Grothendieck, J. Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique, Publ. Math. I.H.E.S. 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32. EGA I, Grundlehren n° 166, Springer-Verlag, 1971. | Numdam | Zbl 0203.23301

[G] M. Gros, Classes de Chern et classes de cycles en cohomologie logarithmique, Bull. Soc. Math. Fr., 113, Fasc. 4 (1985). | Numdam | MR 87m:14021 | Zbl 0615.14011

[Ga] O. Gabber, Sur la torsion dans la cohomologie l-adique d'une variété, C.R. Acad. Sc. Paris, t. 297, Série I (1983), 179-182. | MR 85f:14018 | Zbl 0574.14019

[Gr] A. Grothendieck, Formule de Lefschetz et rationalité des fonctions L, Séminaire Bourbaki n° 279, décembre 1964. | Numdam | Zbl 0199.24802

[I] L. Illusie, Complexe de De Rham-Witt et cohomologie cristalline, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., 4e série, t. 12 (1979), 501-661. | Numdam | MR 82d:14013 | Zbl 0436.14007

[I-R] L. Illusie, M. Raynaud, Les suites spectrales associées au complexe de De Rham-Witt, Publ. Math. I.H.E.S., n° 57. | Numdam | Zbl 0538.14012

[K 1] N. Katz, Travaux de Dwork, Séminaire Bourbaki n° 409, février 1972, Lecture Notes in Math., n° 383, Springer Verlag. | Numdam

[K 2] N. Katz, Crystalline Cohomology, Dieudonné modules and Jacobi sums, in Automorphic forms, Bombay 1979, Springer Verlag, 1981. | Zbl 0502.14007

[K 3] N. Katz, p-adic properties of modular schemes and modular forms, dans "Modular Functions of one Variable III", Lecture Notes in Math., n° 350, Springer Verlag (1973). | MR 56 #5434 | Zbl 0271.10033

[K-M] N. Katz, W. Messing, Some Consequences of the Riemann Hypothesis for Varieties over Finite Fields, Inventiones Math., 23 (1974), 73-77. | MR 48 #11117 | Zbl 0275.14011

[L 1] S. Lichtenbaum, Values of zeta and L-functions at zero, Astérisque, (1975), 24-25. | MR 53 #5538 | Zbl 0312.12016

[L 2] S. Lichtenbaum, Zeta functions of varieties over finite fields at s = 1, Arithmetic and Geometry, Progress in Math. 35, Birkhäuser (1983), 173-194. | MR 85j:14038 | Zbl 0567.14015

[L 3] S. Lichtenbaum, Values of zeta-functions at non-negative integers, Journées arithmétiques, Noordwijkerhout, July 1983. | Zbl 0591.14014

[M 1] J.-S. Milne, On a conjecture of Artin and Tate, Annals of Math., 102 (1975), 517-533. | MR 54 #2659 | Zbl 0343.14005

[M 2] J.-S. Milne, Duality in the Flat Cohomology of a Surface, Ann. Scient. Ec. Norm., Sup. 4e série, t. 9 (1976), 171-202. | Numdam | MR 57 #325 | Zbl 0334.14010

[M 3] J.-S. Milne, Etale cohomology, Princeton University Press, 1980. | MR 81j:14002 | Zbl 0433.14012

[M 4] J.-S. Milne, Values of Zeta Functions of Varieties over Finite Fields, Am. Jour. of Math., 108 (1986), 297-360. | MR 87g:14019 | Zbl 0611.14020

[M 5] J.-S. Milne, Values of Zeta Functions over Finite Fields : Complements and Corrections to, Amer. J. Math., 108 (1986), 297-360 5th May, 1986. | Zbl 0611.14020

[O] A. Ogus, F-crystals and Griffiths transversality, Int. Symposium on Algebraic Geometry, Kyoto (1977), 15-44. | MR 81i:14015 | Zbl 0427.14007

[Sa] N. Saavedra, Catégories tanakiennes, Lecture Notes in Math., n° 265, Springer Verlag (1972). | Zbl 0241.14008

[Sch] P. Schneider, On the values of the zeta function of a variety over a finite field, Compositio Math., 46 (1982), 133-143. | Numdam | MR 84h:14027 | Zbl 0505.14020

[Se 1] J.-P. Serre, Corps locaux, Hermann, 1968.

[Se 2] J.-P. Serre, Groupes pro-algébriques, Publ. Math. I.H.E.S. n° 7 (1960). | Numdam

[Se 3] J.-P. Serre, Représentations linéaires des groupes finis, Hermann, 1967. | MR 38 #1190 | Zbl 0189.02603

[Se 4] J.-P. Serre, Sur la topologie des variétés algébriques en caractéristique p, Symposium internacional de topologia algebraica, Mexico (1958), 24-53. | MR 20 #4559 | Zbl 0098.13103

[SGA 41/2] Cohomologie étale, Lecture Notes in Math., n° 569, Springer Verlag (1977). | Zbl 0345.00010

[SGA 5] Cohomologie l-adique et fonctions L, Lecture Notes in Math. n° 589, Springer Verlag (1977). | Zbl 0345.00011

[SGA 6] Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch, Lecture Notes in Math., n° 225, Springer Verlag (1971).

[T] J. Tate, On a conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer and a geometric analogue, Dix exposés sur la cohomologie des schémas, North-Holland, Amsterdam (1968), 189-214. | Numdam | Zbl 0199.55604