Conditions de régularité et éclatements
Henry, Jean-Pierre ; Merle, Michel
Annales de l'Institut Fourier, Tome 37 (1987), p. 159-190 / Harvested from Numdam
Access to full text
Full (PDF)
Full (DJVU)

On décrit trois types de conditions permettant de stratifier un morphisme analytique complexe f :

1) différentielles, à la Thom-Whitney,

2) géométriques, demandant l’équidimensionnalité de certains diviseurs exceptionnels obtenus à partir de l’espace conormal relatif ou de la modification de Nash relative de f,

3) numériques, exigeant la constance d’invariants de f le long des states.

On donne une méthode générale permettant d’exprimer et de démontrer des équivalences entre des conditions de chaque type.

En particulier, on est capable de formuler des conditions différentielles équivalentes à l’équimultiplicité de toutes les variétés polaires relatives d’un morphisme, ou à celle des dirimants relatifs du morphisme f.

On dispose alors d’une méthode permettant de construire des stratifications “canoniques” du morphisme f, c’est-à-dire les moins fines parmi celles vérifiant un certain type de condition : en particulier, les objets utilisés sont des invariants analytiques du morphisme.

One describes three types of equivalent conditions to stratify complex analytic spaces and morphisms:

1) Numerical conditions, i.e. equimultiplicity of polar varieties, either all polar varieties or only dirimants, depending on the geometrical space used in the second condition.

2) Equidimensionality of some exceptional divisors, especially divisors related to the Nash blowing-ups, and to the conormal space.

3) Differential conditions, or regularity conditions in Thom-Whitney style.

Because the Nash blowing-up contains more information than the conormal space, in the related situation the differential conditions are stronger than usual a and b conditions.

In the study of conditions related to the relative conormal space, a new condition b f is defined, which, when the base space is a point, is the usual Whitney condition B; this condition is shown to be inherited by the relative dirimants for transversal projections.

Equivalence between differential conditions and intersections of cycles in the grassmannian or projective cohomology are shown.

These results give tools to construct canonical stratifications of a complex analytic morphism, the objects used are analytic invariants of the morphism.

@article{AIF_1987__37_3_159_0,
     author = {Henry, Jean-Pierre and Merle, Michel},
     title = {Conditions de r\'egularit\'e et \'eclatements},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     volume = {37},
     year = {1987},
     pages = {159-190},
     doi = {10.5802/aif.1103},
     mrnumber = {89d:32015},
     zbl = {0596.32018},
     language = {fr},
     url = {http://dml.mathdoc.fr/item/AIF_1987__37_3_159_0}
}

Henry, Jean-Pierre; Merle, Michel. Conditions de régularité et éclatements. Annales de l'Institut Fourier, Tome 37 (1987) pp. 159-190. doi : 10.5802/aif.1103. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1987__37_3_159_0/

[1] J. Briançon & J.-P. Speder, Les conditions de Whitney impliquent µ* constant, Ann. Inst. Fourier, 26-2 (1976), 153-163. | Numdam | MR 54 #7843 | Zbl 0331.32012

[2] W. Fulton, Intersection Theory, Ergebnisse der Mathematik, 3 Folge, Band 2, Springer Verlag, 1984. | MR 85k:14004 | Zbl 0541.14005

[3] P. Griffiths & J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, Wiley-interscience, 1978. | MR 80b:14001 | Zbl 0408.14001

[4] J.-P. Henry & M. Merle, Limites d'espaces tangents et transversalités polaires. Actes de la conférence de la Rabida, Springer, Lecture Notes, 961. | MR 85d:32014 | Zbl 0507.32005

[5] J.-P. Henry & M. Merle, Limites de normales, conditions de Whitney et éclatment d'Hironaka Proc. A.M.S. Summer Institute on singularities, Arcata, 1981. | Zbl 0554.32010

[6] J.-P. Henry, M. Merle, C. Sabbah, Sur la condition de Thom stricte pour un morphisme analytique complexe, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., 4e série, 17 (1984). | Numdam | MR 86m:32019 | Zbl 0551.32012

[7] H. Hironaka, Normal cones in Analytic Whitney Stratifications, Publ. Math. I.H.E.S., 36, P.U.F., 1970. | Numdam | Zbl 0219.57022

[8] H. Hironaka, Stratifications and Flatness in Real and Complex Singularities Nordic Summer School, Oslo, 1976 ; Sijthoff and Noordhoff, 1977. | Zbl 0424.32004

[9] M. Kashiwara, P. Schapira, Micro-hyperbolic systems, Acta Mathematica, 142 (1979), 1-55. | MR 80b:58060 | Zbl 0413.35049

[10] S. Kleiman, The Transversality of a General Translate, Compositio Math., 28 (1984), 287-297. | Numdam | MR 50 #13063 | Zbl 0288.14014

[11] A. Lascoux, Polynômes symétriques, foncteurs de Schur, et grassmanniennes, Thèse, Paris VII, 1977.

[12] D.T. Lê & B. Teissier, Variétés polaires locales et classes de Chern des variétés singulières, Annals of Math., 114 (1981), 457-491. | MR 83k:32012a | Zbl 0488.32004

[13] J.H. Lipman, Reduction, Blowing up and Multiplicities, Proc. Conf. on Transcendental Methods in Commutative Algebra, George Mason University, Decker, 1979. | Zbl 0508.13013

[14] J. Mather, Stratifications and Mappings, Dynamical Systems, ed. by M. Peixoto, Academic Press, 1973. | MR 51 #4306 | Zbl 0286.58003

[15] V. Navarro, Conditions de Whitney et sections planes, Inv. Math., 61, 3 (1980), 199-226. | MR 82h:32019 | Zbl 0449.32013

[16] B. Teissier, Variétés polaires locales et conditions de Whitney, C.R. Acad. Sci. Paris., Ser. A-B, 290 (1980). | MR 82m:32006 | Zbl 0496.32009

[17] B. Teissier, Variétés polaires II, Actes de la conférence de la Rabida, Lectures Notes, 961, Springer. | Zbl 0572.14002

[18] R. Thom, Ensembles et morphismes stratifiés, Bull. Amer. Math. Soc., 75 (1969), 240-284. | MR 39 #970 | Zbl 0197.20502

[19] J.-L. Verdier, Stratifications de Whitney et théorème de Bertini-Sard, Inv. Math., 36 (1976), 295-312. | MR 58 #1242 | Zbl 0333.32010

[20] H. Whitney, Tangents to an analytic variety, Ann. of Math., 81 (1964), 496-549. | MR 33 #745 | Zbl 0152.27701