On étudie, dans cet article, la simplification analytique d’une forme de Pfaff fermée à valeurs dans une algèbre de Lie libre, au voisinage d’une singularité. On montre que cette réduction est possible pour une grande classe de formes : les formes à partie singulière bien adaptée. Cette classe contient (strictement) la plupart des situations étudiées jusqu’ici. On montre aussi, que les séries non commutatives utilisées convergent si leurs éléments sont voisins de zéro dans une algèbre normée complète.
We study the analytical simplification of a linear closed Pfaffian form with coefficients in a free Lie algebra in the neighbourhood of a singularity. We show that this analytical reduction (Birkhoff’s reduction) is possible for a large class of forms: the forms with a good adapted singular part. This class contains all the already studied situations and is evidently larger. We show also that all the non commutative series which are used, are convergent if their elements are near of the origin in a complete normed algebra.
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author = {Klares, Bernard and Sadler, Charles},
title = {R\'eduction de Birkhoff des 1-formes diff\'erentielles \`a partie singuli\`ere bien adapt\'ee et \`a coefficients \`a valeurs dans une alg\`ebre de Lie libre},
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Klares, Bernard; Sadler, Charles. Réduction de Birkhoff des 1-formes différentielles à partie singulière bien adaptée et à coefficients à valeurs dans une algèbre de Lie libre. Annales de l'Institut Fourier, Tome 36 (1986) pp. 155-181. doi : 10.5802/aif.1042. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1986__36_1_155_0/
[0] et , Etude d'une classe particulière de Systèmes de Pfaff du type de Fuchs sur l'espace projectif complexe, J. Math. Pures et Appl., 51 (1972), 189-217. | MR 46 #7549 | Zbl 0203.09101
[1] et , Etude de certains systèmes de Pfaff avec singularités, Lecture Notes, 712, Springer Verlag. | MR 82m:34008a | Zbl 0455.35035
[2] , Déformations localement iso-irrégulières de connexions linéaires complètement intégrables sur Pm (C), Lecture Notes, Springer Verlag, 1015, 323-410. | MR 86i:32038 | Zbl 0555.35010
[3] et , Study of a linear connection of several variables in the neighbourhood of an irregular singularity, Analysis, 2 (1982), 65-102. | MR 86g:32017 | Zbl 0553.32006
[4] et , Systèmes de Pfaff et Algèbres de Lie libres. Etude d'une singularité polaire normale. Sém. Lelong, Dolbeault, Skoda (analyse 22° et 23° année, 1983), Lecture Notes Springer Verlag, 1028, 163-218. | MR 86h:58008 | Zbl 0517.58001
[5] , Systèmes des Equations Différentielles Linéaires, Chelsea Publ. Comp. 1953, Mémoire VIII, 5-43.
[6] , On the exponential solution of a differential equation for linear operator, Comm. in Pures and Applied Math., vol. VII (1954), 649-673. | MR 16,790a | Zbl 0056.34102
[7] , Déformation des Systèmes différentiels et microdifférentiels, Séminaire E.N.S. 1979-1980, 353-379. | MR 85h:58160 | Zbl 0528.32016
[8] , Reduction of ordinary differential equations to the Birkhoff canonical form, Trans. Amer. Math. Soc., 107 (1963), 485-507. | MR 27 #368 | Zbl 0115.07002
[9] , Groupes et Algèbres de Lie, Chap. 2 et 3, Hermann, Paris. | MR 13,923j | Zbl 0483.22001
[10] et , Réduction de Birkhoff des 1-formes différentielles à partie singulière bien adaptée et à coefficients à valeurs dans une Algèbre de Lie libre, Publ. de l'I.R.M.A., Strasbourg (Préprint).