Indice d’un opérateur différentiel $p$-adique IV. Cas des systèmes. Mesure de l’irrégularité dans un disque

Robba, Philippe

Annales de l'Institut Fourier, Tome 35 (1985), p. 13-55 / Harvested from Numdam

Résumé

Nous désirons savoir si l’opérateur différentiel d’ordre $1, {d\over dx}+G$, où $G$ est une $k\times k$ matrice à coefficients rationnels, a un indice dans l’espace des fonctions analytiques dans une boule; dans le cas où cet indice existe nous voulons aussi le calculer. Dans le cas où $k=1$ nous montrons l’existence d’un indice (si l’exposant de l’opérateur n’est pas Liouville $p$-adique) et nous montrons comment calculer cet indice. De même nous savons montrer l’existence d’un indice et comment calculer cet indice lorsque le système est équivalent à un système triangulaire. Nous interprétons cet indice en terme d’irrégularité globale de l’opérateur différentiel dans une boule dans le cas où l’opérateur est “complètement soluble”.

Abstract

We are interested in showing that the differential operator of order $1, {d\over dx}+G$, where $G$ is a $k\times k$ matrix with rational coefficients, has an index in the space of functions analytic in a ball; we then wish to compute this index. In the case $k=1$, we show that this index exists (provided that the exponent of the differential operator in the ball is not a $p$-adic Liouville number) and we indicate how to compute this index. We can also show existence of index and compute this index when the system is equivalent to a triangular system. We give an interpretation of that index in term of the global irregularity of the differential operator in the ball.

Détail

Publié le : 1985-01-01

MR 86j:12012 | Zbl 0548.12016 | 4 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1008

Bibliographie

[1] A. Adolphson, An index theorem for p-adic differential operators, Trans. Amer. Math. Soc., 216 (1976), 279-293. | MR 52 #8127 | Zbl 0297.47039

[2] Y. Amice, Les nombres p-adiques, PUF collection Sup 14 (1975). | MR 56 #5510 | Zbl 0313.12104

[3] F. Baldassarri, Differential modules and singular points of p-adic differential equations, Adv. in Math., 44 (1982), 155-179. | MR 84i:12021 | Zbl 0493.12030

[4] G. Christol, Décomposition des matrices en facteurs singuliers. Application aux équations différentielles, GEAU, 7-8 (1979-1981), n° 5, 17 p. | Numdam | Zbl 0466.12016

[5] G. Christol, Un théorème de transfert pour les disques singuliers réguliers, Astérisque, 119-120 (1984), 151-168. | MR 86h:12012 | Zbl 0553.12014

[6] G. Christol, Opérateurs différentiels p-adiques, Kingston university publication.

[7] P. Deligne, Équations différentielles à points singuliers réguliers, Lecture Notes in Math., 169, Springer Verlag, 1970. | MR 54 #5232 | Zbl 0244.14004

[8] B. Dwork, On p-adic differential equations II, Annals of Math., 98 (1973), 366-376. | MR 58 #27987b | Zbl 0304.14015

[9] B. Dwork, P. Robba, On ordinary linear p-adic differential equations, Trans. A.M.S., 231 (1977), 1-46. | MR 56 #5562 | Zbl 0375.34010

[10] B. Dwork, P. Robba, Effective p-adic bounds for solutions of homogeneous linear differential equations, Trans. A.M.S., 259 (1980), 559-577. | MR 81k:12022 | Zbl 0439.12016

[11] B. Malgrange, Sur les points singuliers des équations différentielles, L'enseignement mathématique, XX (1974), 147-176. | MR 51 #4316 | Zbl 0299.34011

[12] P. Robba, On the index of p-adic differential operators I, Annals of Math., 101 (1975), 280-316. | MR 51 #498 | Zbl 0316.12102

[13] P. Robba, On the index of p-adic differential operators II. Duke Math. J., 43 (1976), 19-31. | MR 52 #10739 | Zbl 0338.12108

[14] P. Robba, Index of p-adic differential operators III. Application to twisted exponential sums, Astérisque, 119-120 (1984), 191-266. | MR 86e:12011 | Zbl 0548.12015