Existence of star-products on exact symplectic manifolds
Wilde, Marc De ; Lecomte, P. B. A.
Annales de l'Institut Fourier, Tome 35 (1985), p. 117-143 / Harvested from Numdam
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On démontre que si une variété admet une forme symplectique exacte, l’algèbre de Poisson de cette variété possède des déformations formelles non triviales et que cette variété admet des star-produits. On étudie les dérivations non formelles des star-produits et des déformations de l’algèbre de Poisson d’une variété symplectique quelconque.

It is shown that if a manifold admits an exact symplectic form, then its Poisson Lie algebra has non trivial formal deformations and the manifold admits star-products. The non-formal derivations of the star-products and the deformations of the Poisson Lie algebra of an arbitrary symplectic manifold are studied.

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     author = {Wilde, Marc De and Lecomte, P. B. A.},
     title = {Existence of star-products on exact symplectic manifolds},
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Wilde, Marc De; Lecomte, P. B. A. Existence of star-products on exact symplectic manifolds. Annales de l'Institut Fourier, Tome 35 (1985) pp. 117-143. doi : 10.5802/aif.1013. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1985__35_2_117_0/

[1] A. Avez, A. Lichnerowicz A. Diaz-Miranda, Sur l'algèbre de Lie des automorphismes infinitésimaux d'une variété symplectique, J. Diff. Geom., 9 (1974), 1-40. | MR 50 #8602 | Zbl 0283.53033

[2] F. Bayen, M. Flato, C. Fronsdal, A. Lichnerowicz, D. Sternheimer, Deformation theory and quantization, Ann. of Physics, 111 (1978), 61-110 and 111-151. | MR 58 #14737a | Zbl 0377.53024

[3] M. Cahen, S. Gutt, Regular star-representation of Lie algebras, Lett. in Math. Physics, 6 (1982), 395-404. | MR 84d:58025 | Zbl 0522.58018

[4] M. De Wilde, S. Gutt, P. Lecomte, A propos des deuxième et troisième espaces de cohomologie de l'algèbre de Lie de Poisson d'une variété symplectique, Ann. Inst. Poincaré, 40, 1 (1984), 77-93. | Numdam | MR 86a:58036 | Zbl 0547.53024

[5] M. De Wilde, P. Lecomte, Cohomology of the Lie algebra of smooth vector fields of a manifold, associated to the Lie derivative of smooth forms, J. Math. Pures and Appl., 62 (1983), 197-214. | MR 85j:17017 | Zbl 0481.58032

[6] M. De Wilde, P. Lecomte, Star-products on cotangent bundles, Lett. in Math. Phys., 7 (1983), 487-496. | Zbl 0526.58023

[7] M. Flato, A. Lichnerowicz, D. Sternheimer, C.R.A.S., Paris, 279 (1974), 877. | Zbl 0289.53031

[8] S. Gutt, Second et troisième espaces de cohomologie différentiable de l'algèbre de Lie de Poisson d'une variété symplectique, Ann. Inst. Poincaré, 33-1 (1981), 1-31. | Numdam | Zbl 0476.53021

[9] A. Lichnerowicz, Déformations d'algèbres associées à une variété symplectique (les *v-produits), Ann. Inst. Fourier, 32-1 (1982), 157-209. | Numdam | MR 83k:58095 | Zbl 0465.53025

[10] A. Lichnerowicz, Sur les algèbres formelles associées par déformation à une variété symplectique, Ann. Di Math., 123 (1980), 287-330. | MR 82m:58030 | Zbl 0441.53029

[11] O. M. Neroslavsky, A. T. Vlassov, Sur les déformations de l'algèbre des fonctions d'une variété symplectique, C.R.A.S., Paris, (1980). | Zbl 0471.58034

[12] A. Nuyenhuis, R. Richardson, Deformation of Lie algebra structures, J. of Math. and Mechanics, 17-1 (1967), 89-105. | Zbl 0166.30202

[13] J. Vey, Déformation du crochet de Poisson d'une variété symplectique, Comm. Math. Helv., 50 (1975), 421-454. | MR 54 #8765 | Zbl 0351.53029