Produits finis de commutateurs dans les $C^*$-algèbres

Harpe, Pierre De La ; Skandalis, Georges

Annales de l'Institut Fourier, Tome 34 (1984), p. 169-202 / Harvested from Numdam

Résumé

Soient $A$ une $C^*$-algèbre approximativement finie simple avec unité, $GL_1(A)$ le groupe des inversibles et $U_1(A)$ le groupe des unitaires de $A$. Nous avons défini dans un précédent travail un homomorphisme $\Delta _T$, appelé déterminant universel de $A$, de $GL_1(A)$ sur un groupe abélien associé à $A$. Nous montrons ici que, pour qu’un élément $x$ dans $GL_1(A)$ ou dans $U_1(A)$ soit produit d’un nombre fini de commutateurs, il (faut et il) suffit que $x\in {\rm Ker}(\Delta _T).$ Ceci permet en particulier d’identifier le noyau de la projection canonique $K_1(A)\rightarrow K_1^{\rm top}(A).$ On établit aussi des résultats concernant les $C^*$-algèbres stables et les $C^*$-algèbres infinies simples avec unité.

Abstract

Let $A$ be a simple approximately finite dimensional $C^*$-algebra with unit, let $GL_1(A)$ be the group of invertible elements and let $U_1(A)$ be that of unitaries in $A$. We have defined in a previous work a universal determinant $\Delta _ T$ of $A$, which is a homomorphism from $GL_1(A)$ onto an abelian group associated to $A$. We show here that in element $x$ in $GL_1(A)$ or in $U_1(A)$ is a product of finitely many commutators if (and only if) $x\in {\rm Ker}(\Delta _T).$ In particular, one may thus characterize the kernel of the canonical projection $K_1(A)\rightarrow K_1^{\rm top}(A).$ Other results are established about stable $C^*$-algebras and infinite simple $C^*$-algebras with unit.

Détail

Publié le : 1984-01-01

MR 87i:46146b | Zbl 0536.46044 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.993

Bibliographie

[1] J. Anderson, Commutators of compact operators, J. Reine Angew. Math., 291 (1977), 128-132. | MR 56 #1122 | Zbl 0341.47025

[2] E. Christensen, Perturbations of type I von Neumann algebras, J. London Math. Soc., 9 (1975), 395-405. | MR 50 #10839 | Zbl 0319.46052

[3] G. A. Elliott, On totally ordered groups, and Ko, In «Ring theory, Waterloo 1978», Lecture Notes in Math., 734 (Springer, 1979), 1-49. | MR 81g:06012 | Zbl 0418.06010

[4] T. Fack, Finite sums of commutators in C*-algebras, Ann. Inst. Fourier, 32-1 (1982), 129-137. | Numdam | MR 83g:46051 | Zbl 0464.46047

[5] T. Fack et P. De La Harpe, Sommes de commutateurs dans les algèbres de von Neumann finies continues, Ann. Inst. Fourier, 30-3 (1980), 49-73. | Numdam | MR 81m:46085 | Zbl 0425.46046

[6] P. Fan et C. K. Fong, Which operators are the self-commutators of compact operators ? Proc. Amer. Math. Soc., 80 (1980), 58-60. | MR 81f:47024 | Zbl 0442.47024

[7] M. Gotô, A theorem on compact semi-simple groups, J. of Math. Soc. Japan, 1 (1949), 270-272. Voir aussi H. TÔYAMA, On commutators of matrices, Kōdai Math. Sem. Rep., 5-6 (1949), 1-2. | MR 11,497d | Zbl 0041.36208

[8] P. De La Harpe et G. Skandalis, Déterminant associé à une trace sur une algèbre de Banach, Ann. Inst. Fourier, 34-1 (1984), 241-260. | Numdam | MR 87i:46146a | Zbl 0521.46037

[9] S. Pasiencier et H. C. Wang, Commutators in a semi-simple Lie group, Proc. Amer. Math. Soc., 13 (1962), 907-913. | MR 30 #190 | Zbl 0112.02506

[10] C. Pearcy et D. Topping, On commutators in ideals of compact operators, Mich. Math. J., 18 (1971), 247-252. | MR 44 #2077 | Zbl 0226.46066

[11] G. K. Pedersen, C*-algebras and their automorphism groups, Academic Press, 1979. | MR 81e:46037 | Zbl 0416.46043

[12] K. Soda, Einige Sätze über Matrizen, Japan J. Math., 13 (1937), 361-365. | JFM 63.0842.03 | Zbl 0017.05101