Prolongement méromorphe des séries de Dirichlet associées à des fractions rationnelles de plusieurs variables

Sargos, Patrick

Annales de l'Institut Fourier, Tome 34 (1984), p. 83-123 / Harvested from Numdam

Résumé

Soient $P(\underline{x}) = P(x_1,\ldots , x_n)$ et $Q(\underline{x}) = Q(x_1,\ldots ,x_n)$ deux polynômes à coefficients positifs vérifiant :

lim|x ̲|→+∞x1,...,xn≥1P(x ̲)Q(x ̲)=+∞.

Soient $\underline{\eta }= (\eta _1,\ldots , \eta _n) \in {\bf N}^n$ et $R= P/Q$. On étudie la série de Dirichlet $Z(R,\underline{\eta };s) = \sum ^\infty _{\eta _1,\ldots , \eta _n=1} {\underline{\eta }} ^{\underline{\eta }}R({\underline{\eta }} )^{-s}$ : abscisse de convergence absolue, existence et nature du prolongement méromorphe, ordre de grandeur dans les bandes verticales. On donne un procédé de construction du prolongement méromorphe de la fonction $s\mapsto Z(R,\underline{\eta };s)$ qui ne dépend que de $\underline{\eta }$ et de certains monômes de $P$ et $Q$: les monômes extrémaux.

Abstract

Let $P(\underline{x}) = P(x_1,\ldots , x_n)$ and $Q(\underline{x}) = Q(x_1,\ldots , x_n)$ be tow polynomials with positive coefficients such that:

lim|x ̲|→+∞x1,...,xn≥1P(x ̲)Q(x ̲)=+∞.

Let $\underline{\eta }= (\eta _1,\ldots , \eta _n) \in {\bf N}^n$ and $R = P/Q$. We study the Dirichlet series $Z(R,\underline{\eta };s) = \sum ^\infty _{\eta _1,\ldots , \eta _n=1} \underline{\eta }^{\underline{\eta }}R(\underline{\eta })^{-s}$: abscissa of absolute convergence, existence and nature of the meromorphic continuation, order of growth in vertical strips. Our process for constructing the meromorphic continuation of the function $s\mapsto Z(R,\underline{\eta };s)$ only depends on $\underline{\eta }$ and some particular monomials of $P$ and $Q$: the extremal monomials.

Détail

Publié le : 1984-01-01

MR 86m:32004 | Zbl 0523.10026 | 3 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.979

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