Unique continuation for Schrödinger operators in dimension three or less

Sawyer, Eric T.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 34 (1984), p. 189-200 / Harvested from Numdam

Résumé

Nous démontrons que l’inégalité différentielle $\vert \Delta u\vert \le v\vert u\vert $ a la propriété de prolongement unique se rapportant à l’espace Sobolev $H^{2,1}_{loc}(\Omega )$, $\Omega \subset R^n$, $n\le 3$, si $v$ satisfait la condition

(Kn loc )limr→0supx∈K∫|x-y|<r|x-y|2-nv(y)dy=0

pour tout compact $K\subset \Omega $, où, si $n=2$, nous remplaçons $\vert x- y\vert ^{2-n}$ par $-\log \vert x-y\vert $. Ceci résout une conjecture par B. Simon ayant trait au prolongement unique pour les opérateurs de Schrödinger, $H=-\Delta +v$, dans le cas où $n\le 3$. La preuve utilise une approche du type Carleman de concours avec l’inégalité suivante, valable pour tout $N=0,1,2,\ldots $ et n’importe quel $u\in H_c^{2,1}({\bf R}^3-\lbrace 0\rbrace ),$

|u(x)||x|N≤C∫R3|x-y|-1|Δu(y)||y|Ndyfora.e.xinR3.

Abstract

We show that the differential inequality $\vert \Delta u\vert \le v\vert u\vert $ has the unique continuation property relative to the Sobolev space $H^{2,1}_{loc}(\Omega )$, $\Omega \subset R^n$, $n\le 3$, if $v$ satisfies the condition

(Kn loc )limr→0supx∈K∫|x-y|<r|x-y|2-nv(y)dy=0

for all compact $K\subset \Omega $, where if $n=2$, we replace $\vert x- y\vert ^{2-n}$ by $-\log \vert x-y\vert $. This resolves a conjecture of B. Simon on unique continuation for Schrödinger operators, $H=-\Delta +v$, in the case $n\le 3$. The proof uses Carleman’s approach together with the following pointwise inequality valid for all $N=0,1,2,\ldots $ and any $u\in H_c^{2,1}({\bf R}^3-\lbrace 0\rbrace ),$

|u(x)||x|N≤C∫R3|x-y|-1|Δu(y)||y|Ndyfora.e.xinR3.

Détail

Publié le : 1984-01-01

MR 86i:35034 | Zbl 0535.35007 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.982

Bibliographie

[1] W.O. Amrein, A.M. Berthier and V. Georgescu, Lp inequalities for the Laplacian and unique continuation, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 31-3 (1981), 153-168. | Numdam | MR 83g:35011 | Zbl 0468.35017

[2] A.M. Berthier, Sur le spectre ponctuel de l'opérateur de Schrödinger, C.R.A.S., Paris, 290A (1980), 393-395. | MR 81a:35072 | Zbl 0454.35070

[3] T. Carleman, Sur un problème d'unicité pour les systèmes d'équations aux dérivés partielles à deux variables indépendantes, Ark. Mat., 26B (1939), 1-9. | MR 1,55f | Zbl 0022.34201

[4] V. Georgescu, On the unique continuation property for Schrödinger Hamiltonians, Helv. Phys. Acta, 52 (1979), 655-670.

[5] E. Heinz, Uber die Eindeutigkeit beim Cauchy'schen Anfangswertproblem einer elliptischen Differentialgleichung zweiter Ordnung, Nachr. Akad.-Wiss. Göttingen, II (1955), 1-12. | MR 17,626c | Zbl 0067.07503

[6] L. Hormander, Linear Partial Differential Operators, Springer, Berlin, 1963. | MR 28 #4221 | Zbl 0108.09301

[7] R. Kerman and E. Sawyer, Weighted norm inequalities of trace-type for potential operators, preprint.

[8] V.G. Maz'Ya, Imbedding theorems and their applications, Baku Sympos. (1966), “Nauka”, Moscow, (1970), 142-154 (Russian).

[9] V.G. Maz'Ya, On some integral inequalities for functions of several variables, Problems in Math. Analysis, No 3 (1972) Leningrad U. (Russian).

[10] M. Reed and B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, IV. Analysis of Operators, Academic Press, New York, 1978. | Zbl 0401.47001

[11] J. Saut and B. Scheurer, Un théorème de prolongement unique pour des opérators elliptiques dont les coefficients ne sont pas localement bornés, C.R.A.S., Paris, 290A (1980), 595-598. | MR 82c:35020 | Zbl 0429.35020

[12] M. Schechter and B. Simon, Unique continuation for Schrödinger operators with unbounded potentials, J. Math. Anal. Appl., 77 (1980), 482-492. | MR 83b:35031 | Zbl 0458.35024

[13] B. Simon, Schrödinger semigroups, Bull. A.M.S., 7 (1982), 447-526. | MR 86b:81001a | Zbl 0524.35002

[14] E.M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton University Press, Princeton, N.J. 1970. | MR 44 #7280 | Zbl 0207.13501