Déterminant associé à une trace sur une algèbre de Banach

Harpe, Pierre De La; Skandalis, Georges

Harpe, Pierre De La ; Skandalis, Georges

Annales de l'Institut Fourier, Tome 34 (1984), p. 241-260 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Soient $A$ une algèbre de Banach complexe, $G L_{\infty} (A)$ le groupe général linéaire stable de $A$ et $G L_{\infty}^{0} (A)$ sa composante connexe pour la topologie normique. Nous montrons que toute trace non nulle $r : A \to C$ permet de définir un homomorphisme $Δ_{r}$ de $G L_{\infty}^{0} (A)$ sur le quotient du groupe additif $C$ par l’image $\underset{̲}{r} (K_{0} (A))$ du groupe de Grothendieck de $A$ . Si $A = M_{n} (C)$ (respectivement si $A$ est un facteur fini continu) avec la trace usuelle, alors $\exp (i 2 π Δ_{r})$ est le déterminant usuel (resp. $\exp (Re (i 2 π Δ_{r}))$ est celui de Fuglede et Kadison). Dans le cas général, les déterminants $Δ_{r}$ permettent d’étudier les groupes dérivés de $G L_{1}^{0} (A)$ et $G L_{\infty}^{0} (A)$ , donc aussi la relation entre les groupes de Whitehead $K_{1} (A)$ et $K_{1}^{top} (A)$ .

Let $A$ be a complex Banach algebra, let $G L_{\infty} (A)$ be the stable general linear group of $A$ and let $G L_{\infty}^{0} (A)$ be its connected component for the norm topology. We show that, for any non zero trace $r : A \to C$ , one may define a homomorphism $Δ_{r}$ from $G L_{\infty}^{0} (A)$ onto the quotient of the additive group $C$ by the image $\underset{̲}{r} (K_{0} (A))$ of the Grothendieck group of $A$ . If $A = M_{n} (C)$ (respectively if $A$ is a finite continuous factor) with the usual trace, than $\exp (i 2 π Δ_{r})$ is the usual determinant (resp. $\exp (R e (i 2 π Δ_{r}))$ is that of Fuglede and Kadison). In general, the determinants $Δ_{r}$ make it possible to study the derived groups of $G L_{1}^{0} (A)$ and $G L_{\infty}^{0} (A)$ , et thus also the relationship between the Whitehead groups $K_{1} (A)$ and $K_{1}^{top} (A)$ .

Publié le : 1984-01-01

MR 87i:46146a | Zbl 0521.46037 | 2 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.958

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Harpe, Pierre De La; Skandalis, Georges. Déterminant associé à une trace sur une algèbre de Banach. Annales de l'Institut Fourier, Tome 34 (1984) pp. 241-260. doi : 10.5802/aif.958. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1984__34_1_241_0/

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