Singularités éliminables pour des équations semi-linéaires

Baras, Pierre ; Pierre, Michel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 34 (1984), p. 185-206 / Harvested from Numdam

Résumé

Étant donné $L$ un opérateur différentiel d’ordre $m$ sur un ouvert $\Omega $ de ${\bf R}^N$, $K$ un compact de $\Omega $, $\gamma >1$ et $\gamma ^{\prime } = \gamma /(\gamma -1)$, nous montrons que toute solution de “$Lu+u^\gamma =0$ sur $\Omega \backslash K,~ u\ge 0$” est solution de “$Lu+u^\gamma =0$ sur $\Omega $” dès que la $W^{m,\gamma ^{\prime }}$-capacité de $K$ est nulle. Cette condition s’avère nécessaire quand $L$ est un opérateur elliptique d’ordre 2. Dans ce cas, nous montrons aussi que $``Lu+u\vert u\vert ^{\gamma -1} =\mu ,~~u\vert _{\partial \Omega }= 0^{\prime \prime }$ où $\mu $ est une mesure de Radon bornée sur $\Omega $, a une solution si et seulement si $\mu $ ne charge pas les ensembles de $W^{2,\gamma ^{\prime }}$-capacité nulle.

Abstract

Let $L$ be an $m^{th}$-order differential operator on an open subset $\Omega $ of ${\bf R}^N$, let $K$ be a compact in $\Omega $, $\gamma >1$ and $\gamma ^{\prime }= \gamma /(\gamma -1)$. We show that every solution of “$Lu+u^\gamma =0$ on $\Omega \backslash K,~ u\ge 0$” satisfies “$Lu+u^\gamma =0$ on $\Omega $” when the $W^{m,\gamma ^{\prime }}$-capacity of $K$ is zero. This condition turns out to be necessary when $L$ is a second-order elliptic operator. In the latter case, we also prove that, given $\mu $ a finite Radon measure on $\Omega $, the equation $``Lu+u\vert u\vert ^{\gamma -1} =\mu ,~~u\vert _{\partial \Omega }= 0^{\prime \prime }$ has a solution if and only if $\mu $ does not charge the sets of $W^{2,\gamma ^{\prime }}$-capacity zero.

Détail

Publié le : 1984-01-01

MR 86j:35063 | Zbl 0519.35002 | 4 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.956

Bibliographie

[1] D.R. Adams and J.C. Polking, The equivalence of two definitions of capacity, Proc. of A.M.S., 37 (1973), 529-534. | MR 48 #6451 | Zbl 0251.31005

[2] S. Agmon, A. Douglis and L. Nirenberg, Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions I, Comm. Pure Appl. Math, 12 (1959), 623-727. | MR 23 #A2610 | Zbl 0093.10401

[3] P. Baras et M. Pierre, Singularités éliminables d'équations elliptiques semi-linéaires, C.R.A.S., Paris, Série A, (1982). | MR 85a:35005 | Zbl 0517.35033

[4] Ph. Benilan et H. Brezis, Papier à paraître sur l'équation de Thomas-Fermi. Voir aussi H. BREZIS, Some Variational problems of the Thomas-Fermi type, in Variational Inequalities, Cottle, Gianessi, Lions éd., Reidel (1980). | Zbl 0643.35108

[5] H. Brezis et P.L. Lions, A note on isolated singularities for linear elliptic equations, Mathematical Analysis and Applications, Part. A. Volume dedicated to L. Schwartz, L. Nachbin éd., Acad. Press (1981), 263-266. | MR 83e:35039 | Zbl 0468.35036

[6] H. Brezis and W.A. Strauss, Semi-linear second-order elliptic equations in L1, J. of Math. Soc. Japan, 25 (1973), 565-590. | MR 49 #826 | Zbl 0278.35041

[7] H. Brezis and L. Veron, Removable singularities for some Nonlinear elliptic equations, Arch. for Rat. Mech. and Ana., 75 (1980), 1-6. | MR 83i:35071 | Zbl 0459.35032

[8] D. Feyel et A. De La Pradelle, Topologies fines et compactifications associées à certains espaces de Dirichlet, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 27-4 (1977), 121-146. | Numdam | MR 58 #22625 | Zbl 0357.31009

[9] D. Gilbarg and N.S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Springer Verlag, 224 (1977). | MR 57 #13109 | Zbl 0361.35003

[10] M. Grun-Rehomme, Caractérisation du sous-différentiel d'intégrandes convexes dans les espaces de Sobolev, J. Math. Pures et Appl., 56 (1977), 149-156. | Zbl 0314.35001

[11] T. Kato, Schrödinger operators with singular potentials, Israel J. Math., 13 (1972), 135-148. | MR 48 #12155 | Zbl 0246.35025

[12] A.E. Koselev, A priori estimates in Lp and generalized solutions of elliptic equations and systems, A.M.S. Transl. series, 2, 2D (1962), 105-171. | Zbl 0122.33702

[13] P.L. Lions, Isolated singularities in semilinear problems, J. of Diff. Equa., 38 (1980), 441-450. | MR 82g:35040 | Zbl 0458.35033

[14] N.G. Meyers, A theory of capacities for potentials of functions in Lebesgue Classes, Math. Scand., 26 (1970), 255-292. | MR 43 #3474 | Zbl 0242.31006

[15] L. Nirenberg, On elliptic partial differential equations, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, 13 (1959), 115-162. | Numdam | MR 22 #823 | Zbl 0088.07601

[16] L. Veron, Singular solutions of some nonlinear elliptic equations, Nonlinear Anal. Th., Meth. Appl., Vol. 5, n° 3 (1981), 225-242. | MR 82f:35076 | Zbl 0457.35031

[17] L. Veron, Singularités éliminables d'équations elliptiques non linéaires, J. of Diff. Equa., 41 (1981), 87-95. | MR 82k:35042 | Zbl 0431.35005