Sur les ${\bf Z}_2$-extensions d’un corps quadratique imaginaire

Gras, Georges

Annales de l'Institut Fourier, Tome 33 (1983), p. 1-18 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $k={\bf Q}(\sqrt{-m})$ un corps quadratique imaginaire, soient $k_\infty $ et $F$ ses deux ${\bf Z}_2$-extensions naturelles (la cyclotomique et la prodiédrale), et soit $\check{k}$ son 2-corps de classes de Hilbert. Soient ${\cal P}$ le complété en 2 de $k$, $\rho =0$ ou 1, égale à 1 si et seulement si tout diviseur impair de $m$ est congru à $\pm 1\,{\rm mod}\, 8$, $\chi =0$ ou 1 le 2-rang de Gal$(k_\infty \cap F/k)$, et $t=0,1$ ou 2 le 2-rang de Gal$\check{k}_\infty F\cap \check{k}/k).$ On a $\chi \le \rho $, et des considérations cohomologiques élémentaires nous donnent d’autres contraintes entre ${\cal P}$, $\chi $ et $t$, mais nous trouvons 2 obstructions supplémentaires de nature arithmétique, ce qui nous permet d’obtenir la classification des corps $k$ par rapport aux invariants ${\cal P},\rho ,\chi ,t$ (19 cas dont 17 sont tels que $t=0\Leftrightarrow \chi =1$). Tous ces résultats reposent sur la description de Gal$(k_\infty F/k)$ au moyen d’une fonction logarithme convenable sur le groupe des idéaux de $k$, définie et étudiée dans 2 articles au Journal de Crelle.

Abstract

Let $k={\bf Q}(\sqrt{-m})$ be an imaginary quadratic field, let $k_\infty $ and $F$ be its two natural ${\bf Z}_2$-extensions (the cyclotomic and the prodiedral one), and let $\check{k}$ be its 2-Hilbert class field. Let ${\cal P}$ be the completion of $k$ at 2, $\rho =0$ or 1 equals 1 if and only if all odd divisors of $m$ are congruent to $\pm 1$ mod 8, $\chi =0$ or 1 be the 2-rank of Gal$k_\infty \cap F/k)$, and $t=0,1$ or 2 be the 2-rank of Gal$k_\infty \cap \check{k}/k)$. We have $\chi \le \rho $, and some elementary cohomological facts give other constraints between ${\cal P}$, $\chi $ and $t$, but we find 2 additional obstructions of arithmetical kind which allow us to obtain the classification of the fields $k$ with regard to the invariants ${\cal P},\rho ,\chi ,t$ (19 cases, 17 of which are such that $t=0\Leftrightarrow \chi =1$). All these results are based on the description of Gal$(k_\infty F/k)$ by mean of a suitable logarithm function on the ideal group of $k$, defined and studied in 2 papers in Crelles Journal.

Détail

Publié le : 1983-01-01

MR 85b:11091 | Zbl 0501.12016 | 2 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.939

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