Localisation formelle et groupe de Picard

Fresnel, Jean; Put, Marius Van Der

Annales de l'Institut Fourier, Tome 33 (1983), p. 19-82 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Soient $X$ un espace analytique affinoïde réduit sur un corps $K$ complet pour une valeur absolue non archimédienne, $r : X \to \hat{X}$ sa réduction canonique et $p \in \hat{X}$ un point de la variété algébrique affine $\hat{X}$ . Ce travail décrit la singularité du point $p$ à l’aide d’objets associés à l’espace $X$ : la localisation formelle $𝒪_{X, (p)}$ qui est une $K$ -algèbre noethérienne de spectre maximal $r^{- 1} (p)$ et dont la réduction est $𝒪_{\hat{X}, (p)}$ ; un complété formel $𝒪_{X, (p)}$ qui est une $K$ -algèbre noethérienne dont la réduction est $𝒪_{\hat{X}, (p)}$ . Les résultats essentiels sont obtenus pour $X$ régulier et de dimension 1. On montre les équivalences qui suivent : $p$ est un point multiple ordinaire; Pic $({\hat{𝒪}}_{X, (p)}) = (1)$ (le groupe de Picard de ${\hat{𝒪}}_{X, (p)}$ est trivial) ; $r^{- 1} (p)$ est localement isomorphe à $P_{K}^{1}$ . Si $p$ est toujours un point multiple ordinaire on a : Pic $(𝒪_{X, (p)}) ≃ | K^{\times} |^{n - s} / Z$ où $n$ est la multiplicité du point $p$ , $s$ le nombre de composantes irréductibles de $\hat{X}$ qui passent par $p$ et $Z$ est un sous-groupe de $| K^{\times} |^{n - s}$ engendré par, au plus, $n - 1$ éléments. En particulier, Pic $(𝒪_{X, (p)}) = (1)$ si et seulement si $p$ est une intersection multiple.

Let $X$ be a reduced analytic space over a complete, non-archimedean valued field $K$ . Let $X$ affinoid with canonical reduction $r : X \to \hat{X}$ and let $ρ \in \hat{X}$ . The singularity of the point $p$ is described with the help of certain $K$ -algebra’s associated with $X$ namely :

(i) the formal localization $𝒪_{X, (p)}$ which is noetherian, has $r^{- 1} (p)$ as its maximal ideal space and has reduction $𝒪_{\hat{X}, p}$ .

(ii) The formal completion ${\hat{𝒪}}_{X, (p)}$ , again noetherian with $r^{- 1} (p)$ as its maximal ideal space and with reduction ${\hat{𝒪}}_{\hat{X}, p}$ .

The essential results are obtained for a regular $X$ of dimension 1. One shows the equivalence of: (a) $p$ is an ordinary multiple point, (b) Pic $({\hat{𝒪}}_{X, (p)}) = (1)$ , $r^{- 1} (p)$ is locally isomorphic to $P_{K}^{1}$ . For an ordinary multiple point $p$ one finds Pic $(𝒪_{X, (p)}) ≃ | K^{\times} |^{n - s} / Z$ where $n$ is the multiplicity of $p$ , the number of irreducible components through $p$ is $s$ , and $Z$ is a subgroup of $| K^{\times} |^{n - s}$ generated by at most $(n - 1)$ elements. In particular Pic $(𝒪_{X, (p)}) = (1)$ if and only if $p$ is a multiple intersection.

Publié le : 1983-01-01

MR 85k:32053 | Zbl 0509.14032 | 2 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.940

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Fresnel, Jean; Put, Marius Van Der. Localisation formelle et groupe de Picard. Annales de l'Institut Fourier, Tome 33 (1983) pp. 19-82. doi : 10.5802/aif.940. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1983__33_4_19_0/

Bibliographie

[1] M. Bosch, Orthonormalbasen in der nichtarchimedischen Funktionentheorie, Manuscripta mathematica, vol. 1 (1969), 35-57. | MR 42 #4781 | Zbl 0164.21202

[2] N. Bourbaki, Algèbre commutative, Hermann, Paris.

[3] J. Fresnel et M. Van Der Put, Géométrie analytique rigide et applications, Progress in mathematics, Birkhäuser. | Zbl 0479.14015

[4] E. Heinrich et M. Van Der Put, Über die Picardgruppen affinoider Algebren, à paraître. | Zbl 0543.14011

[5] M. Krasner, Prolongement analytique uniforme et multiforme dans les corps valués complets. Les tendances géométriques en algèbre et théorie des nombres, Édition du C.N.R.S., (1966), 97-141. | MR 34 #4246 | Zbl 0139.26202

[6] H. Matsumura, Commutative algebra, Benjamin, 1969.

[7] M. Van Der Put, The class group of one-dimensional affinoïd space, Annales de l'Institut Fourier, t. 30, fasc. 4 (1980), 155-164. | Numdam | MR 82h:14018 | Zbl 0426.14014

[8] M. Van Der Put, Stable reductions of algebraic curves, à paraître. | Zbl 0588.14021

[9] Ph. Robba, Une classe d'ensembles analytiques à plusieurs dimensions, Bull. Soc. Math. France, mémoire 39-40 (1974), 351-357. | Numdam | Zbl 0295.12105

[10] J. Tate, Rigid analytic spaces, Invent. Math., vol. 12 (1971), 257-289. | MR 46 #5323 | Zbl 0212.25601

[11] L. Gerritzen et M. Van Der Put, Schottky groups and Mumford curves, Lecture notes 817, Springer Verlag. | MR 82j:10053 | Zbl 0442.14009

[12] M. Nagata, Local rings, J. Wiley. | Zbl 0123.03402