La plus petite majorante surharmonique et son rapport avec l'existence des fonctions entières de type exponentiel jouant le rôle de multiplicateurs

Koosis, Paul

Koosis, Paul

Annales de l'Institut Fourier, Tome 33 (1983), p. 67-107 / Harvested from Numdam

Access to full text
Full (PDF)
Full (DJVU)

Résumé
Abstract

Étant donné une fonction $w (x) \geq 0$ paire et continue, on se demande si une fonction entière $ϕ (z) ≢ 0$ de type exponentiel $a$ existe telle que $ϕ (x) \exp w (x)$ soit borné pour $- \infty < x < \infty$ . L’existence d’une telle $ϕ$ est équivalente à celle d’une fonction croissante $ρ (t)$ sur $[0, \infty)$ telle que $ρ (t) = θ (t)$ , que $\frac{ρ (t)}{t} \to \frac{a}{π}$ pour $t \to \infty$ , et que $w (x) + \infty_{0}^{\infty} log | 1 - \frac{x^{2}}{t^{2}} | d ρ (t) \leq C^{te}$ , $x \in R$ , pourvu que $w (x)$ satisfasse à une condition de régularité assez peu restrictive, décrite au début de l’article. On démontre que l’existence d’une telle $ρ$ est à son tour équivalente à ce que la fonction $\frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{| ℑ z |}{| z - t |^{2}} w (t) d t - a | ℑ z |$ admette une majorante surharmonique dans tout le plan complexe, finie en au moins un point de celui-ci. Ce résultat est utilisé pour donner une nouvelle démonstration du théorème de multiplicateur de Beurling et Malliavin, pour obtenir une version quantitative de ce théorème, et pour en retrouver une généralisation aux fonctions $w (x)$ telle que $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{w (x)}{1 + x^{2}} d x < \infty$ et que $\frac{w (x)}{x}$ soit d’énergie finie.

For an even continuous function $w (x) \geq 0$ we are interested in the possible existence of entire functions $ϕ (z) ≢ 0$ of exponential type $a$ making $ϕ (x) \exp w (x)$ bounded on the real axis. If $w (x)$ has some mild regularity whose nature is described at the beginning of the article, the existence of such a $ϕ$ is equivalent to that of an increasing function $ρ (t)$ on $[0, \infty)$ with $ρ (t) = θ (t)$ , $\frac{ρ (t)}{t} \to \frac{a}{π}$ for $t \to \infty$ , and

w (x) + \infty_{0}^{\infty} log | 1 - \frac{x^{2}}{t^{2}} | d ρ (t) \leq const x \in R .

It is shown that the existence of such a $ρ$ is equivalent to that of a superharmonic majorant on $C$ for the function

\frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{| ℑ z |}{| z - t |^{2}} w (t) d t - a | ℑ z |,

that superharmonic majorant being finite in at least one point of $C$ . This result is used to give a new proof of the Beurling-Malliavin multiplier theorem, to obtain a quantitative version of the latter, and to prove a new its generalization for functions $w (x)$ with $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{w (x)}{1 + x^{2}} d x < \infty$ and $\frac{w (x)}{x}$ of finite energy.

Publié le : 1983-01-01

MR 84k:30032 | Zbl 0494.30027 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.905

@article{AIF_1983__33_1_67_0,
     author = {Koosis, Paul},
     title = {La plus petite majorante surharmonique et son rapport avec l'existence des fonctions enti\`eres de type exponentiel jouant le r\^ole de multiplicateurs},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     volume = {33},
     year = {1983},
     pages = {67-107},
     doi = {10.5802/aif.905},
     mrnumber = {84k:30032},
     zbl = {0494.30027},
     language = {fr},
     url = {http://dml.mathdoc.fr/item/AIF_1983__33_1_67_0}
}

Koosis, Paul. La plus petite majorante surharmonique et son rapport avec l'existence des fonctions entières de type exponentiel jouant le rôle de multiplicateurs. Annales de l'Institut Fourier, Tome 33 (1983) pp. 67-107. doi : 10.5802/aif.905. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1983__33_1_67_0/

Bibliographie

[1] P. Koosis, Entire functions of exponentiel type as multipliers for weight functions, Pacific J. Math., 95 (1981), 105-123. | MR 82m:30033 | Zbl 0481.30025

[2] N. Levinson, Gap and Density Theorems, Amer. Math. Soc. Colloq. Pubs., XXVI, New York, 1940. | JFM 66.0332.01 | Zbl 0145.08003

[3] R. Boas, Entire Functions, Academic Press, New York, 1954. | MR 16,914f | Zbl 0058.30201

[4] P. Koosis, Nouvelle démonstration d'un théorème de Levinson concernant la distribution des zéros d'une fonction de type exponentiel, Bull. Soc. Math. de France, 86 (1958), 27-40. | Numdam | MR 21 #5017 | Zbl 0082.05903

[5] P. Koosis, Introduction to Hp Spaces, LMS Lecture Notes Series, No. 40, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1980. | Zbl 0435.30001

[6] P. Koosis, Fonctions entières de type exponentiel comme multiplicateurs. Un exemple et une condition nécessaire et suffisante, Annales Sci. de l'Ecole Norm. Sup., 16, 3 (1983), à paraître. | Numdam | MR 86d:30043 | Zbl 0556.30019

[7] P. Koosis, Harmonic estimation in certain slit regions and a theorem of Beurling and Malliavin, Acta Math., 142 (1979), 275-304. | MR 80d:31007 | Zbl 0406.31001

[8] A. Beurling et P. Malliavin, On Fourier transforms of measures with compact support, Acta Math., 107 (1962), 291-309. | MR 26 #5361 | Zbl 0127.32601

[9] P. Malliavin, On the multiplier theorem for Fourier transforms of measures with compact support, Arkiv för Mat., 17 (1979), 69-81. | MR 81e:42023 | Zbl 0423.42009

[10] L. Helms, Introduction to Potential Theory, Wiley-Interscience, New York, 1969. | MR 41 #5638 | Zbl 0188.17203

[11] T. Gamelin, The polynomial hulls of certain subsets of C2, Pacific J. Math., 61 (1975), 129-142. | MR 53 #13647 | Zbl 0316.32003

[12] A. Zygmund, Trigonometric Series, vol. I, second edition, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1959. | Zbl 0085.05601

[13] M. Tsuji, Potential Theory in Modern Function Theory, Maruzen, Tokyo, 1959. | MR 22 #5712 | Zbl 0087.28401

[14] L. Carleson, Selected Problems on Exceptional Sets, Van Nostrand, Princeton, 1967. | MR 37 #1576 | Zbl 0189.10903