Extensions centrales d'algèbres de Lie
Kassel, Christian ; Loday, Jean-Louis
Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982), p. 119-142 / Harvested from Numdam
Access to full text
Full (PDF)
Full (DJVU)

Soient k un anneau commutatif et A une k-algèbre associative quelconque. Nous calculons le groupe d’homologie H 2 (𝔰l n (A),k) de la k-algèbre de Lie 𝔰l n (A) des matrices de “trace nulle” sur A. Le groupe ainsi déterminé est un groupe d’homologie d’un complexe inspiré d’A. Connes; il est isomorphe à Ω A/k 1 /dA lorsque A est commutative. Nous obtenons également des résultats pour un groupe d’homologie relative associé à une surjection de k-algèbres. Les démonstrations utilisent la classification des extensions centrales et des modules croisés d’algèbres de Lie.

Given a commutative ring k and an associative k-algebra A, we compute the homology group H 2 (𝔰l n (A),k) of the k-Lie algebra 𝔰l n (A)of “trace zero” matrices. This group appears to be a homology group of a complex derivated from A. Connes’ work; it is isomorphic to Ω A/k 1 /dA when A is commutative. Results are also given for relative homology associated to a surjection of k-algèbras. The proofs involve a classification of central extensions and crossed modules of Lie algebras.

@article{AIF_1982__32_4_119_0,
     author = {Kassel, Christian and Loday, Jean-Louis},
     title = {Extensions centrales d'alg\`ebres de Lie},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     volume = {32},
     year = {1982},
     pages = {119-142},
     doi = {10.5802/aif.896},
     mrnumber = {85g:17004},
     zbl = {0485.17006},
     language = {fr},
     url = {http://dml.mathdoc.fr/item/AIF_1982__32_4_119_0}
}

Kassel, Christian; Loday, Jean-Louis. Extensions centrales d'algèbres de Lie. Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) pp. 119-142. doi : 10.5802/aif.896. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1982__32_4_119_0/

[1] S. Bloch, The dilogarithm and extensions of Lie algebras, Alg. K-theory, Evanston 1980, Springer Lecture Notes in Math., n° 854 (1981), 1-23. | MR 83b:17010 | Zbl 0469.14009

[2] H. Cartan and S. Eilenberg, Homological algebra, Princeton University Press (1956). | MR 17,1040e | Zbl 0075.24305

[3] H. Garland, The arithmetic theory of loop groups, Publ. I.H.E.S., n° 52 (1980), 5-136. | Numdam | MR 83a:20057 | Zbl 0475.17004

[4] D. Guin-Walery et J.-L. Loday, Obstruction à l'excision en K-théorie algébrique, Alg. K-theory, Evanston 1980, Springer Lect. Notes in Math., n° 854 (1981), 179-216. | MR 82h:18009a | Zbl 0461.18007

[5] G. Hochschild, Lie algebra kernels and cohomology, Amer. J. Math., 76 (1954), 698-716. | MR 16,109b | Zbl 0055.26601

[6] C. Kassel, Homologie du groupe linéaire général et K-théorie stable, thèse, Université de Strasbourg, juin 1981.

[7] C. Kassel, Calcul algébrique de l'homologie de certains groupes de matrices, J. of Algebra, 80, n° 1 (1983). | MR 84m:18015 | Zbl 0511.18014

[8] J.-L. Loday, Cohomologie et groupe de Steinberg relatifs, J. of Algebra, 54 (1978), 178-202. | MR 80b:18013 | Zbl 0391.20040

[9] J. Milnor, Introduction to algebraic K-theory, Ann. of Math. Studies, n° 72, Princeton University Press (1971). | MR 50 #2304 | Zbl 0237.18005

[10] M. Mori, On the three dimensional cohomology group of Lie algebras, J. Math. Soc. Japan, 5 (1953), 171-183. | MR 15,282e | Zbl 0051.02304