Courbes corde-arc et espaces de Hardy généralisés

David, Guy

Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982), p. 227-239 / Harvested from Numdam

Résumé

Étant donné $\Gamma $ une courbe de Jordan rectifiable du plan complexe admettant le paramétrage par la longueur d’arc $z(s)$, on étudie les relations entre la géométrie de $\Gamma $ et la position dans $L^2(\Gamma )$ des deux espaces de Hardy associés à $\Gamma $. Plus précisément, on montre que si $L^2(\Gamma )$ est la somme presque-orthogonale des espaces de Hardy, la courbe $\Gamma $ satisfait à une condition de type corde-arc, c’est-à-dire que pour tout $s$ et tout $t$ de ${\bf R}$, $|s-t| \le C|z(s)-z(t)|$. Ce résultat est une sorte de réciproque à la généralisation du théorème de Calderón donnée par R.R. Coifman et Y. Meyer en 1979.

Abstract

For any Jordan curve $\Gamma $ in the complex plane, given by $z(s)$ with $|z^{\prime }(s)|=1$, we try to show some connection between geometric properties of $\Gamma $ and the position of the two Hardy spaces associated to $\Gamma $ in $L^2(\Gamma )$. More precisely, we show that, as soon as $L^2(\Gamma )$ is the almost-orthogonal sum of these Hardy spaces, the curve $\Gamma $ satisfies a chord-arc condition, i.e. ${\bf R}$, $|s-t| \le C|z(s)-z(t)|$ for all $s,t$ in ${\bf R}$. This result can be seen as a converse to R.R. Coifman and Y. Meyer’s extension of Calderón’s theorem (1979).

Détail

Publié le : 1982-01-01

MR 85d:42020 | Zbl 0464.30028

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.886

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