Microlocal regularity at the boundary for pseudo-differential operators with the transmission property (I)

Gosson, Maurice De

Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982), p. 183-213 / Harvested from Numdam

Résumé

Nous nous livrons dans cet article à une étude systématique des propriétés de régularité microlocale des opérateurs pseudo-différentiels possédant la propriété de transmission. Nous définissons à cet effet une notion de spectre singulier sur le bord, noté $\partial WF_\omega (u)$ pour les distributions $u \in D^{\prime }({\bf R}^n_+)$ régulières en la variable normale $x_n(\partial WF_\omega (u))= \emptyset$ signifiant que $u\in \cap _{s+t=1/2} H^{s+t}$ près du bord), et montrons que $\partial WF_{\omega -m} P(u^0)_{x_n>0}$ est inclus dans $\partial WF(u)$ si $P$ est le degré $m$ et possède la propriété de transmission. Nous montrons finalement que ces résultats permettent d’obtenir un théorème de régularité (microlocale) pour les solutions des problèmes de Cauchy associés à des opérateurs différentiels à bicaractéristiques transverses à l’hyperplan des données initiales.

Abstract

This work is devoted to a systematic study of the microlocal regularity properties of pseudo-differential operators with the transmission property. We introduce a “boundary singular spectrum”, denoted $\partial WF_\omega (u)$ for distributions $u \in D^{\prime }({\bf R}^n_+)$, regular in the normal variable $x_n$ (thus, $\partial WF_\omega (u)= \emptyset$ means that $u\in \cap _{s+t=1/2} H^{s+t}$ near the boundary), and it is shown that $\partial WF_{\omega -m} [P(u^0)_{x_n>0}]$ is a subset of $\partial WF(u)$ if $P$ has degree $m$ and the transmission property. We finally prove that these results can bef used to examinate the (microlocal) regularity of the solutions of differential Cauchy problems, with bicharacteristics transversal to the hyperplane supporting the Cauchy data.

Détail

Publié le : 1982-01-01

Zbl 0488.35080

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.884

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