Sur le théorème des fonctions composées différentiables

Risler, Jean-Jacques

Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982), p. 229-260 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $f : X\rightarrow Y$ un morphisme propre relativement algébrique entre espaces semi-analytiques. On montre que si ${\cal C}^\infty (Y)$ désigne l’anneau des fonctions de classe ${\cal C}^\infty $ sur $Y$, l’image par $f$ de ${\cal C}^\infty (Y)$ est fermée dans ${\cal C}^\infty (X)$ muni de sa topologie naturelle d’espace de Frechet ; ceci généralise un résultat précédent de J.-C. Tougeron (lui-même généralisant un résultat de Glaeser) qui traite du cas semi-algébrique. La méthode est tout à fait analogue et utilise des propriétés algébriques de l’anneau des fonctions Nash-analytiques introduit par Merrien, propriétés démontrées au début de l’article.

Abstract

Let $f : X\rightarrow Y$ be a proper relatively algebraic morphism between semi-analytic spaces. If ${\cal C}^\infty (Y)$ is the ring of ${\cal C}^\infty $-class functions on $Y$, it is proved that the image of ${\cal C}^\infty (Y)$ by $f$ is closed in ${\cal C}^\infty (X)$ (with his natural topology of Frechet space); this result is a generalization of a recent one by Tougeron (which itself is a generalization of a result by Glaeser); in the Tougeron’s paper, the spaces were supposed semi-algebraic. The method of proof is very similar to the one to Tougeron, and use algebraic properties of the ring of Nash-analytic functions introduced by Merrien; these properties are studied in the beginning of the paper.

Détail

Publié le : 1982-01-01

MR 84k:32008 | Zbl 0468.58003

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.877

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