Soit une extension galoisienne à groupe de Galois métacyclique d’ordre ( divisant et ) possédant un sous-groupe distingué d’ordre . On note l’unique sous-corps de de degré sur , (resp. ) le clôture intégrale de dans (resp. ) et l’opérateur trace dans l’extension . On démontre que est un module localement libre sur l’anneau . On montre ensuite que l’idéal engendré par les résolvantes de Fröhlich associées à un caractère fidèle absolument irréductible de peut être engendré par la somme de Gauss galoisienne correspondante. On en déduit que le module est -libre.
Let be a metacyclic extension the Galois group of which is of order ( dividing and ) and has a normal subgroup of order . Let be the subfied of with degree over , (resp. ) the ring of integers of (resp. ) and the trace operator from to . We prove that is a locally-free module over the ring . We also prove that the ideal generated by Fröhlich’s resolvents associated to an absolutely irreducible faithful character of can be generated by the corresponding Galois Gauss sum. We then deduce that is -free.
@article{AIF_1982__32_2_1_0, author = {Cougnard, Jean}, title = {Propri\'et\'es locales et globales de certaines extensions m\'etacycliques}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, volume = {32}, year = {1982}, pages = {1-12}, doi = {10.5802/aif.869}, mrnumber = {83m:12009}, zbl = {0456.12002}, language = {fr}, url = {http://dml.mathdoc.fr/item/AIF_1982__32_2_1_0} }
Cougnard, Jean. Propriétés locales et globales de certaines extensions métacycliques. Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) pp. 1-12. doi : 10.5802/aif.869. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1982__32_2_1_0/
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