Courbes de Jordan vérifiant une condition corde-arc

Zinsmeister, Michel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982), p. 13-21 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Soit $Γ$ une courbe de Jordan fermée rectifiable dans le plan de la variable complexe. On dit que $Γ$ véfifie la condition corde-arc si

\exists C > 1, \forall M, N \in Γ, M N \leq C M N

où $M N$ est la longueur du plus petit arc de $Γ$ joignant $M$ et $N$ . Soit $Φ$ une représentation conforme du disque unité $D$ dans l’intérieur de $Γ$ . Nous prouvons que $| Φ^{'} |$ restreint à $\partial D$ appartient à la classe de Muckenhoupt $A^{\infty} (\partial D)$ et nous en tirons certains corollaires. Dans deux cas particuliers nous montrons que le résultat peut être amélioré.

Let $Γ$ be a rectifiable closed Jordan curve of the complex plane. We say that $Γ$ is chord-arc if

\exists C > 1, \forall M, N \in Γ, M N \leq C M N

where $M N$ is the length of the (smallest) subarc of $Γ$ joining $M$ and $N$ . Let $Φ$ be a conformal mapping from the unit disk $D$ to the interior domain of $Γ$ . We prove that $| Φ^{'} |$ , restricted to $\partial D$ belongs to the Muckenhoupt’s class $A^{\infty} (\partial D)$ and state a few corollaries. Then we study two special cases for which the result can be improved.

Publié le : 1982-01-01

MR 84j:30052 | Zbl 0468.30001 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.870

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Zinsmeister, Michel. Courbes de Jordan vérifiant une condition corde-arc. Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) pp. 13-21. doi : 10.5802/aif.870. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1982__32_2_13_0/

Bibliographie

[1] L. Ahlfors, Lectures on quasiconformal mappings, Princeton, 1966. | MR 34 #336 | Zbl 0138.06002

[2] R. R. Coifman, C. Fefferman, Weighted norm inequalities for maximal functions and singular integrals, Studia Math., 51 (1974), 241-249. | MR 50 #10670 | Zbl 0291.44007

[3] R. R. Coifman, Y. Meyer, Le théorème de Caldéron par des méthodes de variable réelle, C.R.A.S., Paris, Sér. A, t. 289 (1979), 425-428. | MR 80j:42024 | Zbl 0427.42007

[4] D. S. Jerison, C. E. Kenig, Hardy spaces, A∞ and singular integrals on chordarcs domains, (preprint). | Zbl 0509.30025

[5] M. B. Keldysch, M. Lavrent'Ev, Sur la transformation conforme des domaines limités par des courbes rectifiables, Ann. Sci. E.N.S., 3e série, t. 54 (1937), 1-38. | JFM 63.0299.04 | Numdam | Zbl 0017.21702

[6] C. E. Kenig, Weighted Hardy spaces on Lipschitz domains, Amer. J. Math., 102 (1980), 129-163. | MR 81d:30060 | Zbl 0434.42024

[7] Ch. Pommerenke, Schichte Funktionen und BMOA, Comm. Math. Helv., 62 (1977), 591-602. | Zbl 0369.30012

[8] Ch. Pommerenke, Univalent functions, Göttingen, 1975.

[9] M. Zinsmeister, Espaces de Hardy généralisés, Thèse de 3e cycle, Orsay (1980).

[10] A. Zygmund, Trigonometric series, Cambridge, 1959. | Zbl 0085.05601