Fonctions définies dans le plan et vérifiant certaines propriétés de moyenne

Yger, Alain

Annales de l'Institut Fourier, Tome 31 (1981), p. 115-146 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $a$ un réel de $]0,1[$. Nous étudions le système d’équations de convolution suivant

(*)∀x∈R2,f(x)=14∑ε=±1ε′=±1f(x+(ε,ε′))=14∑ε=±1ε′=±1f(x+a(ε,ε′)).

Nous démontrons que les exponentielles polynômes solutions de $(*)$ sont denses dans l’espace des solutions $C^\infty $ du système d’équations; l’idéal de ${\cal E}^{\prime }({\bf R}^2)$ engendré par les transformées de Fourier des deux mesures intervenant ici est “slowly decreasing” au sens de Berenstein-Taylor. Lorsque $a$ n’est pas un nombre de Liouville, nous montrons qu’il existe un ouvert relativement compact telle que toute solution distribution de $(*)$ régulière sur cet ouvert l’est en fait partout. Nous étudions également le cas où $a$ est un irrationnel de type constant.

Abstract

Let $a$ be a real number, $a\in ]0,1[$. We study the following system of convolution equations

(*)∀x∈R2,f(x)=14∑ε=±1ε′=±1f(x+(ε,ε′))=14∑ε=±1ε′=±1f(x+a(ε,ε′)).

We show first that the exponential-solutions of $(*)$ are dense in the set of $C^\infty $ solution of $(*)$; the ideal of ${\cal E}^{\prime }({\bf R}^2)$ which is generated by the Fourier transforms of the two measures linked with that problem is “slowly decreasing”, as Berenstein-Taylor define that notion. When $a$ is not a Liouville number, we show that there is a relatively compact open set $\Omega $ such that every solution of the system $(*)$ in ${\cal E}^{\prime }({\bf R}^2)$ is regular in ${\bf R}^2$ when it is $C^\infty $ in $\Omega $. We also study the case when $a$ is of constant type.

Détail

Publié le : 1981-01-01

MR 84e:39005 | Zbl 0438.43010

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.841

Bibliographie

[1] E.F. Beckenbach et M. Reade, Mean Values and Harmonic polynomials, Trans. Amer. Math. Soc., 53 (1943), 230-238. | MR 4,199c | Zbl 0063.00272

[2] C.A. Berenstein et B.A. Taylor, Interpolation problems in Cn with applications to Harmonic Analysis, J. Analyse. Math., Vol. 38 (1980). | MR 82h:32002 | Zbl 0464.42003

[3] J. Delsarte, Note sur une propriété nouvelle des fonctions harmoniques, C.R.A.S., 246 (1958), 1358-1359. | MR 20 #2548 | Zbl 0084.09403

[4] J. Delsarte, Théorie des fonctions moyenne-périodiques de deux variables, Ann. Math., 72 (1960), 121-178. | MR 24 #A428 | Zbl 0104.33902

[5] L. Ehrenpreis, Fourier Analysis in several complex variables, Tracts in Math., 17, Wiley-Intersc., (1970). | MR 44 #3066 | Zbl 0195.10401

[6] A. Friedman, Mean Values and polyharmonic polynomials, Michigan Math. Journal, 4 (1957), 67-74. | MR 18,799b | Zbl 0077.09804

[7] L. Gruman, The area of analytic varieties in CN, Math. Scand., 41 (1977). | MR 57 #16670 | Zbl 0376.32008

[8] D.I. Gurevich, Counterexamples to a problem of L. Schwartz, Funct. Analysis and its applications (traduit du russe). Russian original, Vol. 9, n° 2, 1975, traduction anglaise, 93-182, 1975, p. 116-120. | Zbl 0326.46020

[9] S. Hansen, Uniqueness of the Cauchy problem for convolution operators, J. reine angew. Math., 317 (1980). | MR 82b:35001 | Zbl 0423.35006

[10] E. Kregelius-Petersen et G.H. Meirsters, Non Liouville Numbers and a theorem of Hörmander, Journal of Functional Analysis, 29 (1978), 142-150. | Zbl 0401.46023

[11] S. Lang, Introduction to Diophantine Approximations, Addison-Wesley Publ. Co., 1966. | MR 35 #129 | Zbl 0144.04005

[12] Y. Meyer, Remarques sur un théorème de J. Delsarte, Ann. Inst. Fourier, 26, 2 (1976), 133-152. | Numdam | MR 54 #5735 | Zbl 0318.42028

[13] Y. Meyer, Algebraic Numbers and Harmonic Analysis, North-Holland Publ. Co. 1972. | MR 58 #5579 | Zbl 0267.43001

[14] M. Okada, Une estimation modifiée du type de Bezout pour les applications holomorphes équidimensionnelles entières de Cn, C.R.A.S., Paris, t 291, Série A (7 juillet 1980). | MR 82c:32025 | Zbl 0448.32002

[15] R.D. Richtmyer, On the structure of some distributions discovered by Meirsters, Journal of functional Analysis, 9 (1972), 336-348. | MR 45 #5752 | Zbl 0236.46041

[16] F. Riesz et B. Sz. Nagy, Leçons d'Analyse fonctionnelle, 6e édition, Gauthier-Villars, Paris 1972.

[17] H. Skoda, Application des techniques L2 à la théorie des idéaux d'une algèbre de fonctions holomorphes avec poids, Ann. scient. ec. Norm. sup., 4e série, 5, n° 4 (1972), 545-579. | Numdam | MR 48 #11571 | Zbl 0254.32017

[18] B.A. Taylor et J.J. Kelleher, Finitely generated ideals in rings of analytic fonctions, Math. Ann., 193 (1971), 225-237. | MR 46 #2077 | Zbl 0207.12906

[19] J.L. Walsh, A mean Value theorem for polynomials and Harmonic polynomials, Bull. Amer. Math. Soc., 42 (1936), 923-930. | JFM 62.1222.02 | Zbl 0016.12302

[20] A. Yger, Une généralisation d'un théorème de J. Delsarte, C.R.A.S., Paris, 288, série A (1979), 497. | MR 80d:46073 | Zbl 0402.46027

[21] A. Yger, Fonctions définies dans le plan et moyennes en tout point de leurs valeurs aux sommets de deux carrés, C.R.A.S., Paris, 288, série A (1979), 535. | MR 80c:46049 | Zbl 0398.46034

[22] A. Yger, Propriétés de certains systèmes d'équations de convolution dans R2, C.R.A.S., Paris, 289, série A (1979), 169. | MR 81c:46036 | Zbl 0415.46036

[23] A. Yger, Fonctions moyenne périodiques de deux variables ; étude des systèmes d'équations de convolution envisagés par J. Delsarte, Séminaire d'Analyse Harmonique, Orsay, 1976-1977.