Unités et classes dans les extensions métabéliennes de degré $n\ell ^s$ sur un corps de nombres algébriques

Jaulent, Jean-François

Annales de l'Institut Fourier, Tome 31 (1981), p. 39-62 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $N$ une extension cyclique $\ell $-primaire d’un corps de nombres $K$. On suppose que $N$ est métabélienne sur un sous-corps $H$ d’indice $n$ dans $K$, pour un $n$ étranger à $\ell $ ; on note $G$ son groupe de Galois de $T$ un relèvement dans $G$ du quotient Gal$(K/H)$. On étudie la structure galoisienne des groupes de $\ell $-classes de $N$ et on s’intéresse en particulier à leurs $\psi $-composantes, lorsque $\psi $ parcourt le groupe des caractères $\ell $-adiques irréductibles de $T$. Le choix d’un générateur convenable $\theta $ dans l’idéal d’augmentation de l’algèbre ${\bf Z}_\ell [{\rm Gal}(N/K)]$ permet de mettre en évidence que les écarts entre les ordres respectifs de ces composantes s’expriment très simplement à l’aide des nombres de $\psi $-classes invariantes et des $\psi $-parties du nombre de genres de l’extension $N/K$. On détermine donc ces quantités et on montre enfin comment les indices d’unités qui interviennent dans la formule obtenue gouvernent directement la $\ell $-structure galoisienne du groupe des unités de $N$.

Abstract

Let $N$ be a cyclic $\ell $-extension of a number field $K$. We suppose that $N$ is normal over a subfield $H$ of $K$, with metabelian Galois group. We study the Galois structure of the $\ell $-class groups of $N$ and especially the $\psi $-eigenspaces of these groups, for every $\ell $-adic character of Gal$(K/H)$. By choosing a convenient generator $\theta $ in the augmentation ideal of the group ring ${\bf Z}_\ell [{\rm Gal}(N/K)]$, we prove that the difference between the orders of two $\psi $-components is directly connected with $\psi $-parts of the genus number and of the ambiguous class number of $N/K$. So, we compute these quantities and show how the unit indices, which appear in the class number formula, are related with the Galois module structure of the unit group.

Détail

Publié le : 1981-01-01

MR 83c:12005 | Zbl 0436.12007

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.816

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