Fonctions composées différentiables : cas algébrique

Tougeron, Jean-Claude

Annales de l'Institut Fourier, Tome 30 (1980), p. 51-74 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $f$ un morphisme propre et de Nash d’un ouvert $\Omega $ de ${\bf R}^n$ dans un ouvert $\Omega ^{\prime }$ de ${\bf R}^p$. Nous démontrons que l’image par $f^*$ de l’algèbre $C^\infty (\Omega ^{\prime })$ des fonctions réelles $C^\infty $ dans $\Omega ^{\prime }$ est fermée dans $C\infty (\Omega )$ munie de sa topologie habituelle d’espace de Fréchet. Ce résultat généralise, dans le cas algébrique, un résultat de G. Glaeser sur les fonctions composées différentiables.

Abstract

Let $f$ denote a proper Nash function from an open set $\Omega $ in ${\bf R}^n$ to an open set $\Omega ^{\prime }$ in ${\bf R}^p$. We prove that the image by $f^*$ of the algebra $C^\infty (\Omega ^{\prime })$ of real $C^\infty $ functions on $\Omega ^{\prime }$ is closed in $C^\infty (\Omega )$ provided with its usual Fréchet space topology. This result extends, in the algebraic case, a result of G. Glaeser on composed differentiable functions.

Détail

Publié le : 1980-01-01

MR 82e:58020 | Zbl 0427.58007 | 3 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.808

Bibliographie

[1] E. Bierstone et T. Blomm, On the composition of C∞ functions with an analytic mapping, preprint.

[2] A. M. Gabrielov, Formal relations between analytic functions, Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., Tome 37, n° 5 (1973). | Zbl 0288.32008

[3] G. Glaeser, Fonctions composées différentiables, Ann. of Math., 77 (1963), 193-209. | MR 26 #624 | Zbl 0106.31302

[4] H. Hironaka, Résolution of singularities of an algebraic variety, I-II, Ann. of Math (1964), 109-326. | Zbl 0122.38603

[5] S. Lojasiewicz, Ensembles semi-analytiques, n° A 66765, École Polytechnique, Paris (1965).

[6] D. Luna, Fonctions différentiables invariantes sous l'opération d'un groupe réductif, Ann. Inst. Fourier, 26, 1 (1976), 33-49. | Numdam | MR 54 #11377 | Zbl 0315.20039

[7] J. Merrien, Faisceaux analytiques semi-cohérents, C.R.A.S., Paris, t 289 (1979), 791. | MR 80k:32015 | Zbl 0429.32010

[8] J. Merrien, Applications des faisceaux analytiques semi-cohérents aux fonctions différentiables, C.R. Acad. Sc., Paris, t 290 (1980). | MR 80m:32008 | Zbl 0446.58003

[9] J. J. Risler, Sur l'anneau des fonctions de Nash globales, C. R. Acad. Sc., Paris, t. 276 (1973), 1513. | MR 47 #7057 | Zbl 0256.13014

[10] G. W. Schwarz, Smooth functions invariant under the action of compact lie group, Topology, 14 (1975), 63-68. | MR 51 #6870 | Zbl 0297.57015

[11] J.-Cl. Tougeron, Idéaux de fonctions différentiables, Springer, Berlin (1972). | Zbl 0251.58001

[12] J.-Cl. Tougeron, An extension of Whitney's spectral theorem, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., n° 40 (1971), 139-148. | Numdam | MR 51 #6872 | Zbl 0239.46023

[13] J.-Cl. Tougeron, Courbes analytiques sur un germe d'espace analytique et applications, Ann. Inst. Fourier, 26, 2 (1976), 117-131. | Numdam | Zbl 0318.32005

[14] J.-Cl. Tougeron, Fonctions composées différentiables: cas algébrique, C.R.A.S., Paris, t. 230 (1980), 171. | Zbl 0456.58004