Homogeneous hessian manifolds

Shima, Hirohiko

Annales de l'Institut Fourier, Tome 30 (1980), p. 91-128 / Harvested from Numdam

Résumé

Une variété d’une connexion affine plate est dite hessienne si elle est munie d’une métrique riemannienne qui s’exprime localement $g_{ij}={\partial ^2\Phi \over \partial x^i\partial x^j}$ où $\Phi $ est une fonction $C^\infty $ et $\lbrace x^1,\ldots ,x^n\rbrace $ est un système de coordonnées locales affines. Soit $M$ une variété hessienne. On montre que si $M$ est homogène, le revêtement universel de $M$ est un domaine convexe dans ${\bf R}^n$ et admet une fibration uniquement déterminée dont la base est un domaine convexe homogène ne contenant aucune droite et dont le fibré est un sous-espace affine de ${\bf R}^n$.

Abstract

A flat affine manifold is said to Hessian if it is endowed with a Riemannian metric whose local expression has the form $g_{ij}={\partial ^2\Phi \over \partial x^i\partial x^j}$ where $\Phi $ is a $C^\infty $-function and $\lbrace x^1,\ldots ,x^n\rbrace $ is an affine local coordinate system. Let $M$ be a Hessian manifold. We show that if $M$ is homogeneous, the universal covering manifold of $M$ is a convex domain in ${\bf R}^n$ and admits a uniquely determined fibering, whose base space is a homogeneous convex domain not containing any full straight line, and whose fiber is an affine subspace of ${\bf R}^n$.

Détail

Publié le : 1980-01-01

MR 82a:53054 | MR 597019 | Zbl 0424.53023 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.794

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