Galois module structure of rings of integers

Taylor, Martin J.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 30 (1980), p. 11-48 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $E/F$ une extension galoisienne de corps de nombres où les diviseurs de $(E:F)$ sont non-ramifiés dans $E/{\bf Q}$. On note $\Gamma =\,{\rm Gal}(E/F)$ et ${\cal O}_E$ l’anneau des entiers de $E$. Nous considérons ${\cal O}_E$ comme ${\bf Z}\Gamma $-module et nous démontrons que la quatrième puissance de la classe (localement libre) de ${\cal O}_E$ est la classe triviale. Afin de démontrer ce résultat, nous utilisons la description de Fröhlich des groupes de classes de modules et son représentant pour la classe des ${\cal O}_E$. De plus, nous développons une nouvelle méthode de congruences sur les déterminants pour les algèbres des groupes cycliques et nous démontrons des congruences correspondantes pour les sommes de Gauss.

Abstract

Let $E/F$ be a Galois extension of number fields with $\Gamma =$ Gal$(E/F)$ and with property that the divisors of $(E:F)$ are non-ramified in $E/{\bf Q}$. We denote the ring of integers of $E$ by ${\cal O}_E$ and we study ${\cal O}_E$ as a ${\bf Z}\Gamma $-module. In particular we show that the fourth power of the (locally free) class of ${\cal O}_E$ is the trivial class. To obtain this result we use Fröhlich’s description of class groups of modules and his representative for the class of ${\cal E}_E$, together with new determinantal congruences for cyclic group rings and corresponding congruences for Gauss sums.

Détail

Publié le : 1980-01-01

MR 82e:12008 | Zbl 0416.12004

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.791

Bibliographie

[1] Ph. Cassou-Nogues, Quelques théorèmes de base normale d'entiers, Ann. Inst. Fourier, 28, 3 (1978), 1-33. | Numdam | Zbl 0368.12004

[2] P. Deligne, Les constantes des équations fonctionnelles des fonctions L, Modular forms in one variable III, Lecture Notes in Mathematics, 349 (1973), 501-597. | MR 50 #2128 | Zbl 0271.14011

[3] A. Fröhlich, Arithmetic and Galois module structure for tame extensions, J. reine und angew. Math., 286/287 (1976), 380-440. | MR 55 #5582 | Zbl 0385.12004

[4] A. Fröhlich, To appear in the Springer Ergebnisse series.

[5] A. Fröhlich, Galois module structure, Algebraic Number Fields, (Proc. Durham Symposium), Academic Press, 1977, London. | Zbl 0375.12010

[6] A. Fröhlich, Locally free modules over arithmetic orders, J. reine angew. Math., 274/5 (1975), 112-124. | MR 51 #12794 | Zbl 0316.12013

[7] A. Fröhlich and M.J. Taylor, The arithmetic theory of local Galois Gauss sums for tame characters, to appear in the Philosophical Transactions of the Royal Society. | Zbl 0436.12014

[8] T.Y. Lam, Artin exponents of finite groups, J. Algebra, 9 (1968), 94-119. | MR 37 #304 | Zbl 0277.20006

[9] S. Lang, Algebraic number theory, Addison-Wesley (1970). | MR 44 #181 | Zbl 0211.38404

[10] J. Martinet, Character theory and Artin L-functions, Algebraic Number fields, (Proc. Durham Symposium), Academic Press, (1977), London. | MR 56 #5502 | Zbl 0359.12015

[11] E. Noether, Normalbasis bei Körpern ohne höhere Verzweigung, J. reine angew. Math., 167 (1932), 147-152. | JFM 58.0172.02 | Zbl 0003.14601

[12] J.P. Serre, Corps locaux, Hermann, Paris, 1968.

[13] J.P. Serre, Représentations linéaires des groupes finis, 2nd ed., Hermann, Paris, 1971. | MR 50 #4718 | Zbl 0223.20003

[14] J. Tate, Local constants, Algebraic Number Fields, (Proc. Durham Symposium), Academic Press, London, 1977.

[15] M.J. Taylor, Galois module structure of relative abelian extensions, J. reine angew. Math., 303/4 (1978), 97-101. | MR 80e:12006 | Zbl 0384.12007

[16] M.J. Taylor, On the self-duality of a ring of integers as a Galois module, Inventiones Mathematicae, 46 (1978), 173-177. | MR 57 #12460 | Zbl 0381.12007

[17] M.J. Taylor, A logarithmic description of locally free classgroups of finite groups, to appear in the Journal of Algebra.