A complex-variable proof of the Wiener tauberian theorem

Esterlé, Jean

Annales de l'Institut Fourier, Tome 30 (1980), p. 91-96 / Harvested from Numdam

Résumé

Le semi-groupe fondamental $(a^t)_{t>0}$ de l’équation de la chaleur pour la droite réelle possède une extension analytique $(a^t)_{{\rm Re}\, t>0}$ au demi-plan droit qui vérifie $\Vert a^t\Vert \le \sqrt{\vert t\vert }$ pour Re$\, t\ge 1$. En utilisant le théorème de Ahlfors-Heins pour les fonctions analytiques bornées sur le demi-plan on peut déduire le théorème taubérien de Wiener de l’inégalité ci-dessus.

Abstract

The fundamental semigroup $(a^t)_{t>0}$ of the heat equation for the real line has an analytic extension $(a^t)_{{\rm Re}\, t>0}$ to the right-hand open half plane which satisfies $\Vert a^t\Vert \le \sqrt{\vert t\vert }$ for Re$\, t\ge 1$. Using the Ahlfors-Heins theorem for bounded analytic functions on a half-plane we show that the Wiener tauberian theorem for $L^1({\bf R})$ follows from the above inequality.

Détail

Publié le : 1980-01-01

MR 81j:43016 | Zbl 0419.40005 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.786

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