Unités cyclotomiques, unités semi-locales et ${\mathbb {Z}}_\ell $-extensions

Gillard, Roland

Annales de l'Institut Fourier, Tome 29 (1979), p. 49-79 / Harvested from Numdam

Résumé

Soient $K$ un corps abélien réel, $\ell $ un nombre premier, premier au degré de $K/{\bf Q}$. Cet article utilise une conjecture de J. Coates et S. Lichtenbaum (ou une conjecture analogue pour $\ell =2$, qu’il énonce et discute) pour étudier, pour chaque étage de la ${\bf Z}_\ell $-extension de $K$, la décomposition de la $\ell $-partie de la formule analytique du nombre de classes suivant l’action du groupe de Galois de $K/{\bf Q}$. Pour cela, est établie une formule sur la $\Phi $-composante ($\Phi $-caractère $\ell $-adique irréductible) du quotient du groupe des unités semi-locales par un sous-groupe déduit de celui des unités cyclotomiques.

Abstract

Let $K$ be a real abelian number field, $\ell $ a prime number which does not divide $[K:{\bf Q}]$ and $K_\infty $ the ${\bf Z}_\ell $-extension of $K$. This paper uses a conjecture of J. Coates and S. Lichtenbaum (or for $\ell =2$ an analogous conjecture which is stated and discussed) to study the decomposition, with respect to the action of the Galois group of $K/{\bf Q}$, of the $\ell $-part of the analytical formula for the class number of any layer of $K_\infty /K$. For this purpose, let $\Phi $ be a $\ell $-adic irreducible character, then we prove a formula about the $\Phi $-part of the quotient of the group of semi-local units be a subgroup deduced from the group of cyclotomic units.

Détail

Publié le : 1979-01-01

MR 81e:12005a | Zbl 0387.12002 | 4 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.727

Bibliographie

[1] J. Coates et S. Lichtenbaum, On l-adic zeta functions, Annals of Maths, vol. 98, n° 3, pp. 498-550. | MR 48 #8445 | Zbl 0279.12005

[2] B. Ferrero, Iwasawa invariants of abelian number fields, Math. Ann., 234 (1978). | MR 58 #5584 | Zbl 0347.12004

[3] A. Fröhlich, Ideals in a extension field as modules..., Math. Zeit., 74 (1960), 29-38. | Zbl 0098.03401

[4] R. Gillard, Sur le groupe des classes des extensions abéliennes réelles, Séminaire Delange-Pisot-Poitou, exposé du 3.1.77. | Numdam | Zbl 0375.12006

[5] R. Gillard, Unités cyclotomiques et Zl-extensions, Séminaire de théorie des nombres de Bordeaux, 25 mars 1977. | Zbl 0392.12006

[6] G. Gras, Classes d'idéaux des corps abéliens et nombres de Bernoulli généralisés, Ann. de l'Inst. Fourier, t. 27, n° 1 (1977), 1-66. | Numdam | MR 56 #8534 | Zbl 0336.12004

[7] G. Gras, Etude d'invariants relatifs aux groupes des classes des corps abéliens, Journées arithmétiques de Caen (1976), Astérisque, n° 41-42 (1977), 35-53. | MR 56 #5489 | Zbl 0445.12002

[8] R. Greenberg, On p-adic L functions and cyclotomic fields II, Nagoya Math. J., 67 (1977). | MR 56 #2964 | Zbl 0373.12007

[9] H. Hasse, Über die Klassenzahl abelscher Zahlkörper, Akademie Verlag, Berlin, 1952. | Zbl 0046.26003

[10] K. Iwasawa, A note on class numbers of algebraic number fields, Abh. math. Sem. Hamburg, t. 20 (1956), 257-258. | MR 18,644d | Zbl 0074.03002

[11] K. Iwasawa, On some properties of Γ finite modules, Annals of Maths., vol. 70, n° 2, (1959), 291-312. | MR 23 #A1633 | Zbl 0202.33102

[12] K. Iwasawa, Lectures on p-adic L-functions, Ann. Math. Studies, 74, Princeton Univ. Press. | MR 50 #12974 | Zbl 0236.12001

[13] K. Iwasawa, On Zl-extensions of algebraic number fields, Annals of Maths, vol. 98 (1973), 246-326. | MR 50 #2120 | Zbl 0285.12008

[14] H. Leopoldt, Über Einheitengruppe und Klassenzahl reeller abelscher Zahlkörper, Abh. Deutsche Akad. Wiss., Berlin, 2 (1954). | Zbl 0059.03501

[15] H. Leopoldt, Über die Hauptordnung der ganzen Elemente eines abelschen Zahlkörpers, J. reine angew. Math., 201 (1959), 119-149. | MR 21 #7195 | Zbl 0098.03403