Annulation du groupe des $\ell $-classes généralisées d’une extension abélienne réelle de degré premier à $\ell $

Gras, Georges

Annales de l'Institut Fourier, Tome 29 (1979), p. 15-32 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $\ell $ un nombre premier impair. Soit $K$ une extension abélienne réelle de ${\bf Q}$ de degré premier à $\ell $ et soit $G$ son groupe de Galois; soit $\varphi $ ($\varphi \ne 1$) un caractère $\ell $-adique irréductible de $K$. Soit $M$ la $\ell $-extension abélienne maximale de $K$ non ramifiée en dehors de $\ell $ et soit ${\cal A}$ le ${\bf Z}_\ell [G]$-module Gal$(M/K)$ ; ${\cal A}^\varphi $ (la $\varphi $-composante de ${\cal A}$) est un module fini sur l’anneau des entiers ${\bf Z}^{\psi ^{\prime }}_\ell $ de ${\bf Q}^{\psi ^{\prime }}_\ell $ (corps des valeurs sur ${\bf Q}_\ell $ d’un caractère $\psi ^{\prime }$ de degré 1 divisant $\varphi $). On construit explicitement pour tout $n\ge 0$ un élément ${\cal S}_n$ de ${\bf Z}^{\psi ^{\prime }}_\ell $ qui annule le module ${\cal A}^\varphi /{\cal A}^{\varphi \ell ^{n+1}}$. On montre ensuite que la suite des ${\cal S}_n$ a une limite $\ell $-adique (qui annule ${\cal A}^\varphi $) et que cette limite est le nombre $L_\ell (1,\psi ^{\prime })$ (valeur en “$s=1$” de la fonction $L$ $\ell $-adique relative au caractère $\psi ^{\prime }$).

Abstract

Let $\ell $ be an odd prime number. Let $K$ be a real abelian extension of ${\bf Q}$ with a degree prime to $\ell $ and let $G$ be the Galois group of $K/{\bf Q}$; Let $\varphi $ ($\varphi \ne 1$) be an irreducible $\ell $-adic character of $K$. Let $M$ be the maximal abelian $\ell $-extension of $K$ unramified outside $\ell $ and let ${\cal A}$ be the ${\bf Z}_\ell [G]$-module Gal$(M/K)$ ; ${\cal A}^\varphi $ (the $\varphi $-component of ${\cal A}$) is a finite module over the ring of integers ${\bf Z}^{\psi ^{\prime }}_\ell $ of ${\bf Q}^{\psi ^{\prime }}_\ell $ (field generated over ${\bf Q}_\ell $ by the values of a character $\psi ^{\prime }$ of degree 1 dividing $\varphi $). We construct explicitely, for all $n\ge 0$, an element ${\cal S}_n$ in ${\bf Z}^{\psi ^{\prime }}_\ell $ which annihilates the module ${\cal A}^\varphi /{\cal A}^{\varphi \ell ^{n+1}}$. We then show that the sequence ${\cal S}_n$ has a $\ell $-adic limit (which annihilates ${\cal A}^\varphi $) and that this limit is the number $L_\ell (1,\psi ^{\prime })$ (value at “$s=1$” of the $\ell $-adic $L$ function of the character $\psi ^{\prime }$).

Détail

Publié le : 1979-01-01

MR 80h:12008 | Zbl 0387.12008

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.725

Bibliographie

[1] J. Coates and S. Lichtenbaum, On ℓ-adic Zeta functions, Ann. of Math., 98 (1973), 498-550. | MR 48 #8445 | Zbl 0279.12005

[2] J. Fresnel, Nombres de Bernoulli et fonctions L p-adiques, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 17, 2 (1967), 281-333. | Numdam | MR 37 #169 | Zbl 0157.10302

[3] R. Gillard, Sur le groupe des classes d'idéaux des extensions abéliennes réelles, à paraître dans le Sém. Delange, Pisot, Poitou (exposé du 3 janvier 1977). | Numdam | MR 81c:12019 | Zbl 0375.12006

[4] G. Gras, Classes d'idéaux des corps abéliens et nombres de Bernoulli généralisés, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 27, 1 (1977), 1-66. | Numdam | MR 56 #8534 | Zbl 0336.12004

[5] G. Gras, Application de la notion de ϕ-objet à l'étude du groupe des classes d'idéaux des extensions abéliennes, Publ. math. Univ. de Besançon (1975-1976).

[6] G. Gras, Etude d'invariants relatifs aux groupes des classes des corps abéliens, Soc. Math. France, Astérisque, 41-42 (1977), 35-53. | MR 56 #5489 | Zbl 0445.12002

[7] R. Greenberg, On p-adic L-functions and cyclotomic fields II, Nagoya Math. Jour., 67 (1977). | MR 56 #2964 | Zbl 0373.12007

[8] K. Iwasawa, On Zℓ-extensions of algebraic number fields, Ann. of Math., 98 (1973), 246-326. | MR 50 #2120 | Zbl 0285.12008

[9] B. Oriat et Ph. Satge, Un essai de généralisation du Spiege-lungssatz, à paraître au Journal de Crelle.