Sur les entiers $N$ pour lesquels il y a beaucoup de groupes abéliens d’ordre $N$

Nicolas, Jean-Louis

Annales de l'Institut Fourier, Tome 28 (1978), p. 1-16 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $a(n)$ le nombre de groupes abéliens d’ordre $n$. Pour étudier les grandes valeurs prises par $a(n)$, on définit, comme l’a fait Ramanujan pour le nombre de diviseurs de $n$, les nombres $a$-hautement composés et $a$-hautement composés supérieurs. Pour calculer ces derniers nombres, on détermine les sommets de l’enveloppe inférieure convexe de la fonction $\log P(n)$ où $P(n)$ est le nombre de partitions de $n$. Sous l’hypothèse de Riemann, on donne un développement asymptotique de l’ordre maximum de la fonction $a(n)$.

Abstract

Let $a(n)$ be the number of abelian groups of order $n$. To deal with large values taken by $a(n)$, as Ramanujan has done with the number of divisors of $n$, $a$-highly composite and superior $a$-highly composite numbers are defined. To compute these numbers, the vertices of the inferior convex envelope of the function $\log P(n)$, where $P(n)$ is the number of partitions of $n$, are determined. Under Riemann hypothesis, an asymptotic development of the maximal order of $a(n)$ is given .

Détail

Publié le : 1978-01-01

MR 80b:10063 | Zbl 0363.10027

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.714

Bibliographie

[1]Burnside, Theory of groups of finite order, Dover Publications (1955). | MR 16,1086c | Zbl 0064.25105

[2]P. Deligne et J. P. Serre, Formes modulaires de poids 1, Annales Scientifiques de l'E.N.S., 4e série, 7 (1974), 507-530. | Numdam | MR 52 #284 | Zbl 0321.10026

[3]W. J. Ellison et M. Mendes-France, Les nombres premiers, Hermann (1975), Actualités Scientifiques et Industrielles n° 1366. | MR 54 #5138 | Zbl 0313.10001

[4]P. Erdös und G. Szekeres, Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem, Acta Litt. Sci. Reg. Univ. Hungar. Fr.-Jos., Sect. Sci. Math., 7 (1934), 94-103. | JFM 60.0893.02 | Zbl 0010.29402

[5]P. Erdos et J. L. Nicolas, Répartition des nombres superabondants, Bull. Soc. Math. France, 103 (1975), 65-90. | Numdam | MR 54 #257 | Zbl 0306.10025

[6]G. H. Hardy, Divergent series, Oxford at the Clarendon Press, (1949). | MR 11,25a | Zbl 0032.05801

[7]G. H. Hardy and S. Ramanujan, Asymptotic formulae in combinatory analysis, Proc. of the London Math. Soc., 2, XVII (1918), 75-115 and Collected Papers of S. Ramanujan, p. 276 à 309. | JFM 46.0198.04

[8]G. H. Hardy and E. M. Wright, An introduction to the theory of numbers, Oxford at the Clarendon Press, 4th edition (1962). | Zbl 0086.25803

[9]E. Heppner, Die maximale Ordnung primzahl-unabhängiger multiplikativer Funktionen, Arch. Math., XXIV (1973), 63-66. | MR 47 #8462 | Zbl 0254.10038

[10]D. G. Kendall and R. A. Rankin, On the number of abelian groups of a given order, Quart J. Math., Oxford, ser. 18 (1947), 197-208. | MR 9,226c | Zbl 0031.15303

[11]J. Knopfmacher, Arithmetical properties of finite rings and algebras, and analytic number theory I to VI, J. Reine angew. Math. 252 (1972), 16-43 ; 254 (1972), 74-99 ; 259 (1973), 157-170 ; 270 (1974), 97-114 ; 271 (1974), 95-121 ; 277 (1975), 45-62. | MR 47 #1769 | Zbl 0246.10032

[12]J. Knopfmacher, A prime divisor function, Proc. Amer. Math. Soc., 40 (1973), 373-377. | MR 48 #6036 | Zbl 0267.10059

[13]E. Kratzel, Die Maximale Ordnung der Anzahl der wesentlich verschiedenen Abelschen Gruppen n-ter Ordnung, Quart J. Math., Oxford, (2) 21 (1970), 273-275. | MR 42 #3171 | Zbl 0206.03402

[14]J. L. Nicolas, Répartition des nombres hautement composés de Ramanujan, Can. J. Math., vol. XXIII, n° 1, (1971), 116-130. | MR 43 #165 | Zbl 0213.06602

[15]J. L. Nicolas, Grandes valeurs des fonctions arithmétiques, Séminaire de théorie des nombres Delange-Pisot-Poitou, Paris (1974-1975), 16e année, n° G. 20. | Numdam | Zbl 0324.10043

[16]S. Ramanujan, Highly composite numbers, Proc. of the London Math. Soc., 2, 14 (1915), 347-409 ; et Collected papers, p. 78-128, Chelsea (1927). | JFM 45.0286.02

[17]H. Rademacher, Topics in analytic number theory, Die Grundlehren der Math. Wiss., Band n° 169, Springer-Verlag (1973). | MR 51 #358 | Zbl 0253.10002

[18]P. G. Schmidt, Uber die Anzahl abelscher Gruppen, Oberwolfach, Novembre (1975).

[19]W. Schwarz and E. Wirsing, The maximal number of non-isomorphic abelian groups of order n, Arch. Math., XXIV (1973), 59-62. | MR 47 #4953 | Zbl 0251.10035

[20]B. R. Srinivasan, On the number of Abelian groups of a given order, Acta Arith., 23 (1973), 195-205. | MR 49 #2610 | Zbl 0228.10022

[21]S. Wigert, Sur l'ordre de grandeur du nombre des diviseurs d'un entier, Arkiv för Mathematik, vol. 3, n° 18 (1906-1907), 1-9. | JFM 38.0249.01

[22]Problèmes et Solutions, Can. Math. Bull., 7 (1964), 307.