Principe de Harnack à la frontière et théorème de Fatou pour un opérateur elliptique dans un domaine lipschitzien

Ancona, Alano

Annales de l'Institut Fourier, Tome 28 (1978), p. 169-213 / Harvested from Numdam

Résumé

L’article étudie le compactifié de Martin d’un domaine lipschitzien $\Omega $ relativement à un opérateur elliptique à coefficients hödériens $L$ ; on étend aux fonctions $L$-harmoniques et aux fonctions $L$-harmoniques adjointes sur $\Omega $ une estimation de $L$-Carleson pour le cas $L=\Delta $, puis on établit un “principe de Harnack à la frontière” comparant l’allure à la frontière de fonctions $L$-harmoniques $\ge 0$ sur $\Omega $. Conséquences : $Q\in \partial \Omega $, et normalisée en $A_0 \in \Omega $ ; un théorème de type Fatou-Doob sur l’existence de limites angulaires.

On construit un domaine plan dont les compactifiés relativement à $\Delta $ et à ${\partial ^2\over \partial x^2} + 2{\partial ^2\over \partial y^2}$ ne sont pas homéomorphes, et un domaine $\Omega $ contenant un angle $\lbrace z\ne 0;|{\rm Arg}^t(z)| < \alpha \rbrace $ et tel que $\lbrace ]0,\varepsilon ];\varepsilon >0\rbrace $ ne soit pas une base de filtre convergente dans le compactifié de $\Omega $.

Abstract

We study the Martin compactification of a Lipschitz domain, with respect to an elliptic operator $L$: we show, for $L$-harmonic functions and adjoint $L$-harmonic functions, an estimate due to $L$-Carleson when $L=\Delta $. We use that result to obtain a “Harnack Boundary Principle” related to the behaviour of $\ge 0$ $L$-harmonic functions. We can then obtain, the existence and uniqueness of a $L$-kernel functions at each $Q\in \partial \Omega $, as well as a Fatou-Doob type theorem on non tangential limits for quotients of $L$-harmonic functions. We construct a planar domain whose Martin compactification with respect to $\Delta $ and ${\partial ^2\over \partial x^2} + 2{\partial ^2\over \partial y^2}$ are not homeomorphics, and a domain including an angle $\lbrace z\ne 0;|{\rm Arg}^t(z)| < \alpha \rbrace $ such that the net $\lbrace ]0,\varepsilon ];\varepsilon >0\rbrace $ is not converging in the usual compactification of $\Omega $.

Détail

Publié le : 1978-01-01

MR 80d:31006 | Zbl 0377.31001 | 8 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.720

Bibliographie

[1] M. Brelot, Remarques sur la variation des fonctions harmoniques et les masses associées. Application, Ann. Inst. Fourier, II (1950), 101-111. | Numdam | MR 13,458i | Zbl 0042.33604

[1bis] M. Brelot, Sur le principe des singularités positives et la topologie de R.S. Martin, Ann. Univ. Grenoble, 23, 298-30 (1950), 307. | Numdam

[2] N. Boboc et P. Mustata, Espaces harmoniques associés aux opérateurs différentiels linéaires du second ordre de type elliptique, Lecture Notes, 68, Springer Verlag (1968). | MR 39 #3020 | Zbl 0167.40301

[3] L. Carleson, On the existence of boundary values for harmonic functions of several variables, Ark. Math., 4 (1962). | MR 28 #2232 | Zbl 0107.08402

[4] B. Dahlberg, A note on sets of harmonic measure zero, Preprint.

[5] D. Gildbarg et J. Serrin, On isolated singularities of solutions of second order elliptic equations, J. d'Anal. Math., 4 (1954-1956), 309-340. | MR 18,399a | Zbl 0071.09701

[6] K. Gowrisankaran, Fatou-Doob limit theorems in the axiomatic system of Brelot, Ann. Inst. Fourier, 16 (1966), 455-467. | Numdam | MR 35 #1802 | Zbl 0145.15103

[7] R. M. Hervé, Recherches axiomatiques sur la théorie des fonctions surharmoniques et du potentiel, Ann. Inst. Fourier, 12 (1962), 415-571. | Numdam | MR 25 #3186 | Zbl 0101.08103

[8] H. Hueber, Uber die existenz harmonisher minoranten von superharmonishen Funktionen, Mat. Ann., 225 (1977), 99-114. | MR 55 #684 | Zbl 0319.31008

[9] J. T. Kemper, A Boundary Harnack principle for Lipschitz domains and the principle of positive singularities, Comm. pure appl. math., 25 (1972), 247-255. | MR 45 #2193 | Zbl 0226.31007

[10] R. A. Hunt and R. L. Wheeden, On the boundary values of harmonic functions, Trans. Amer. Math. Soc., 132, n° 2 (1968), 307-322. | MR 37 #1634 | Zbl 0159.40501

[11] R. A. Hunt and R. L. Wheeden, Positive harmonic functions on Lipschitz domains, Trans. Amer. Math. Soc., 147 (1970), 507-527. | MR 43 #547 | Zbl 0193.39601

[12] R. S. Martin, Minimal positive harmonic functions, Trans. Amer. Math. Soc., 49 (1941), 137-172. | JFM 67.0343.03 | MR 2,292h | Zbl 0025.33302

[13] K. Miller, Barriers on cones for uniformly elliptic operators, Ann. Math. pura ed. applicata, IV, vol. 76 (1967), 93-106. | MR 36 #4139 | Zbl 0149.32101

[14] C. Miranda, Partial differential equations of elliptic type, Springer Verlag (1970). | MR 44 #1924 | Zbl 0198.14101

[15] J. C. Taylor, On the Martin compactification of a bounded Lipschitz domain in a Riemannian manifold, Preprint. | Numdam | Zbl 0363.31010

[16] J. Serrin, On the Harnack inequality for linear elliptic equations, J. d'Anal. Math., 4 (1956), 292-308. | MR 18,398f | Zbl 0070.32302

[17] C. De La Vallée Poussin, Propriétés des fonctions harmoniques dans un domaine limité par des surfaces à courbure bornée, Ann. Scuola Norm. Sup. di Pisa, 2, vol 2 (1933), 167-192. | JFM 59.1136.02 | Numdam

[18] K. O. Widmann, Inequalities for the Green function and boundary of the gradient of solutions of elliptic equations, Math. Scand., 21 (1967), 17-37. | MR 39 #621 | Zbl 0164.13101