Approximation par des opérateurs compacts ou faiblement compacts à valeurs dans $C(X)$

Fakhoury, Hicham

Annales de l'Institut Fourier, Tome 27 (1977), p. 147-167 / Harvested from Numdam

Résumé

Soient $W=L^{\prime }(\mu )$ et $V=C(X)$. Il existe une application (non linéaire) normiquement continue $T\mapsto P(T)$ de l’espace des opérateurs bornés de $W$ dans $V$ sur l’espace des opérateurs compacts (resp. faiblement compacts) de $W$ dans $V$ telle que $\Vert T-P(T)\Vert $ coïncide avec la distance de $T$ au sous-espace formé des opérateurs compacts (resp. faiblement compacts). Pour un opérateur donné $T$ de $W$ dans $V$ on étudie les propriétés de l’ensemble ${\bf K}(T)$ (resp. ${\bf F}(T)$) des opérateurs compacts (resp. faiblement compacts) tel que pour tout ${\bf R}$ de ${\bf K}(T)$ (resp. ${\bf K}(T)$) la quantité $\Vert T-R\Vert $ coïncide avec la distance de $T$ à un sous-espace des opérateurs compacts (resp. faiblement compacts).

Abstract

Let $W=L^{\prime }(\mu )$ and $V=C(X)$. There exists a, non linear, norm continuous, nearest point projection from the space ${\bf L}(W,V)$ of bounded linear operators from $W$ into $V$, to the subspace ${\bf K}(W,V)$ of compact (resp. ${\bf F}(W,V)$ of weakly compact) operators : that is a map $P$ from ${\bf L}(W,V)$ into ${\bf K}(W,V)$ (resp. ${\bf F}(W,V)$) satisfying $\Vert T-P(T)\Vert =\inf \lbrace \Vert T-R\Vert ~;~R\in {\bf K}(W,V)\rbrace $ (resp. $\inf \lbrace \Vert T-R\Vert ;~R\in {\bf F}(W,V)\rbrace $). In a latter part we study the sets ${\bf K}(T)$ and ${\bf F}(T)$ of approximants for a given operator $T$ in ${\bf L}(W,V)$, and we prove that these sets have always an empty interior and, that under certain hypothesis, no extrem points.

Détail

Publié le : 1977-01-01

MR 57 #7237 | Zbl 0358.47011

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.674

Bibliographie

[1] E. Davies et G. Vincent Smith, Tensor products, infinite products and projective limits of simplexes, Math. Scand., 22 (1968), 145-164. | MR 39 #4638 | Zbl 0176.42802

[2] J. Dixmier, Les fonctionnelles linéaires sur l'ensemble des opérateurs bornés d'un espace de Hilbert, Ann. of Math., 51 (1950), 387-408. | MR 11,441e | Zbl 0036.35801

[3] H. Fakhoury, Caractérisation des L-espaces duaux, Bull. Sci. Math., 96 (1972), 129-144. | MR 48 #12005 | Zbl 0238.46032

[4] H. Fakhoury, Existence d'une projection continue de meilleure approximation dans certains espaces de Banach, J. Math. Pures et Appl., 53 (1974), 1-16. | MR 50 #10648 | Zbl 0286.46023

[5] J. Hennefeld, A decomposition for B(X)* and unique Hahn-Banach extension, Pacific J. Math., 46 (1973), 197-199. | MR 51 #6492 | Zbl 0272.46013

[6] R. Holmes et B. Kripke, Best approximation by compact operators, Ind. Univ. Math. J., 21 (1971-1972), 255-263. | MR 45 #5718 | Zbl 0228.41005

[7] R. Holmes, B. Scranton et J. Ward, Approximation from the space of compact operators and other M-ideals, Duke Math. J., 42 (1975), 259-269. | MR 52 #15104 | Zbl 0332.47024

[8] A. Lazar, Affine products of simplexes, Math. Scand., 22 (1968), 165-175. | MR 40 #4727 | Zbl 0176.42803

[9] A. Lazar et J. Lindenstrauss, Banach spaces whose duals are L1 and their representing matrices, Acta Math., 126 (1971), 165-193. | MR 45 #862 | Zbl 0209.43201

[10] J. Lindenstrauss, Extension of compact operators, Mem. Amer. Math. Soc., 48 (1964). | MR 31 #3828 | Zbl 0141.12001

[11] J. Lindenstrauss et D. Wulbert, Banach spaces whose duals are L1, J. Funct. Analysis, 4 (1969), 332-349. | MR 40 #3274 | Zbl 0184.15102

[12] C. Olsen, Extremal points and finite rank operators in the set of compact approximants, Ind. Univ. Math. J., 24 (1974), 409-416. | MR 50 #1038 | Zbl 0301.47023

[13] E. Thorp, Projections onto the subspace of compact operators, Pacific J. Math., 10 (1960), 693-696. | MR 22 #4955 | Zbl 0119.31904

[14] D. Wulbert, Projections of norm 1 on C(X), Notices Amer. Math. Soc., 15 (1968), 362.