On donne une construction de métriques riemanniennes où toutes les géodésiques issues d’un point sont fermées et de même longueur sur certaines variétés non difféomorphes aux sphères et projectifs usuels, et en particulier sur certaines sphères exotiques
On étudie ensuite la topologie de ces variétés ; on précise le classique théorème de Bott dans le cas non simplement connexe ; on étend ses conclusions (affaiblies) sous une hypothèse plus faible sur les géodésiques.
A construction is given, which puts on certain manifolds, non diffeomorphic to the usual spheres and projective spaces, such Riemannian metrics that all the geodesics from some point are closed and of the same length ; one gets for example some exotic spheres.
Then one studies the topology of such a manifold, refining classical Bott’s theorem in the non-simply connected case ; one gets finally a weaker conclusion under some weaker condition on geodesics.
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Bérard-Bergery, Lionel. Quelques exemples de variétés riemanniennes où toutes les géodésiques issues d'un point sont fermées et de même longueur suivis de quelques résultats sur leur topologie. Annales de l'Institut Fourier, Tome 27 (1977) pp. 231-249. doi : 10.5802/aif.647. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1977__27_1_231_0/
[1] , On manifolds all of whose geodesics are closed, Ann. of Math., 60 (1954), 375-382. | MR 17,521a | Zbl 0058.15604
[2] and , Manifolds which are like projective planes, Publ. Math. I.H.E.S., 14 (1962), 181-222. | Numdam | MR 26 #3075 | Zbl 0109.15701
[3] , A sufficient condition that a mapping of Riemannian manifolds be a fiber bundle, Proc. A.M.S., 11 (1960), 236-242. | MR 22 #3006 | Zbl 0112.13701
[4] , Manifolds with restricted conjugate locus, Ann. of Math., 78 (1963), 527-547. | MR 28 #2506 | Zbl 0117.38701
[4]ʹ , Lectures on closed geodesics, (Livre en préparation) | Zbl 0397.58018
[5] , Involutions on manifolds, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1971. | MR 45 #7747 | Zbl 0214.22501
[6] , Fixpunktfreie Involutionen von 7-sphären, Math. Ann., 185 (1970), 250-258. | MR 41 #6234 | Zbl 0181.27002
[7] and , Free differentiable actions on homotopy spheres, Proc. of Conf. on transformation groups, New Orleans 1967, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1968. | Zbl 0198.56801
[8] , A note on theorems of BOTT and SAMELSON, J. Math. Kyoto Univ., 7-2 (1967), 205-220. | MR 37 #933 | Zbl 0162.53502
[9] , On manifolds with many closed geodesics, Portugaliae Mathematica, 22 (1963), 193-196. | MR 37 #5819 | Zbl 0134.17704
[10] , On the structure of manifolds, Amer. J. of Math., 84 (1962), 387-399. | MR 27 #2991 | Zbl 0109.41103
[11] , On the cut locus and the topology of Riemannian manifolds, J. Math. Kyoto Univ., 14-2 (1974), 391-411. | MR 51 #1666 | Zbl 0289.53033
[12] , Differential forms and the topology of manifolds, Proceedings of the International Conference on Manifolds and Related Topics in Topology, Tokyo 1973, p. 37-51, Edited by Akio Mattori, Tokyo University Press 1975. | Zbl 0319.58005
[13] , Totally geodesic maps, J. of Diff. Geom., 4 (1970), 73-79. | MR 41 #7589 | Zbl 0194.52901
[14] , Conjugate loci of constant order, Ann. of Math., 86 (1967), 192-212. | MR 35 #4857 | Zbl 0172.23003