Opérateurs dissipatifs et semi-groupes dans les espaces de fonctions continues

Roth, Jean-Pierre

Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976), p. 1-97 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $X$ un espace localement compact. Tout opérateur dissipatif de domaine dense dans $C^0((X)$ est limite d’opérateurs dissipatifs bornés. Ce résultat permet, dans le cas où $X$ est un espace homogène, de démontrer que tout opérateur dissipatif, de domaine dense et invariant sur $C^0(X)$ se prolonge en le générateur infinitésimal d’un semi-groupe à contraction invariant sur $C^0(X)$.

À tout opérateur $A$ vérifiant le principe du maximum positif sur $C^0(X,{\bf R})$ et de domaine assez riche, on associe un opérateur bilinéaire $B$, appelé opérateur carré du champ, défini par

∀f,g∈D(A),B(f,g)=A(fg)-fA(g)-gA(f).

$B$ vérifie la propriété remarquable suivante : pour toute mesure positive bornée $\mu $ sur $X,(f,g)\mapsto \int B(f,g)d\mu $ est une forme de Dirichlet définie sur $D(A)$.

Si $A$ est le générateur local d’un semi-groupe de Feller sur $C^0(X)$, on définit, pour des ouverts $\Omega $ de $X$ suffisamment réguliers, la restriction de $A$ à $\Omega $. Cette restriction est le générateur d’un semi-groupe de Feller sur $C^0(\Omega )$.

Abstract

Let $X$ be a locally compact space. Any dissipative operator densely defined in $C^0(X)$ is a limit of bounded dissipative operators. When $X$ is an homogeneous space then this result allows us to prove that any invariant dissipative and densely defined operator on $C^0(X)$ extends itself into the infinitesimal generator of an invariant semigroup in $C^0(X)$.

To every operator $A$ which satisfies to the positive maximum principle in $C^0(X,{\bf R})$ and so that $D(A)$ is rich enough, is associated a bilinear operator $B$ called “opérateur carré du champ" which is defined as follows:

∀f,g∈D(A),B(f,g)=A(fg)-fA(g)-gA(f).

$B$ satisfies to the remarkable property that for any positive bounded measure $\mu $ on $X,(f,g)\mapsto \int B(f,g)d\mu $ is a Dirichlet form on $D(A)$.

If $A$ is the local generator of a Feller’s semigroup in $C^0(X)$, the restriction of $A$ to $\Omega $ is defined for any sufficiently regular open set $\Omega $. This restriction is the generator of a Feller’s semigroup in $C^0(\Omega )$.

Détail

Publié le : 1976-01-01

MR 56 #6467 | Zbl 0331.47021 | 5 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.632

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