Sur certains espaces de formes linéaires liés aux mesures vectorielles

Bucchioni, D. ; Goldman, André

Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976), p. 173-209 / Harvested from Numdam

Résumé

En liaison avec le théorème d’Orlicz-Pettis, on étudie la plus fine topologie localement convexe ${\bf T}_1$ sur un elc $E$ pour laquelle toute mesure définie sur une tribu et à valeurs dans $E$ est ${\bf T}_1$-bornée. Pour cela, on considère l’espace $G^{\prime }_1$ des formes linéaires $x^{\prime }$ sur $E$ telles que, pour toute suite $(x_n)$ sous-série convergente de $E$, on ait $\Sigma |\langle x_n,x^{\prime }\rangle | < +\infty $. La topologie ${\bf T}_1$ coïncide avec la topologie de Mackey $\tau (E,G^{\prime }_1)$ ; elle est bornologique et tonnelée, mais ce n’est pas la topologie bornologique et tonnelée associée à $E$. Ce point est établi en étudiant, par des méthodes basées sur la mesurabilité universelle et l’opération (A) de Souslin, les espaces de M. Valdivia. D’autres cas particuliers sont examinés : espaces de fonctions continues, produits d’elc. etc.

Abstract

The purpose of this paper, motivated by the Orlicz-Pettis theorem, is to study the finest locally convex topology ${\bf T}_1$ on a locally convex space $E$ under which every $E$-valued vector measure is ${}_1$-bounded. In order to do this, we consider the space $G^{\prime }_1$ of all linear forms $x^{\prime }$ on $E$ such that, for each sequence $(x_n)$ which is “subseries-convergent” in $E$, the series $(\langle x_n,x^{\prime }\rangle )$ is unconditionally convergent. This topology ${\bf T}_1$, which is the Mackey topology of the dual pair $\langle E,G^{\prime }_1\rangle $, is bornological and barrelled, but $E,{\bf T}_1)$ is not the bornological and barrelled space associated with $E$. In order to prove this latter result, we investigate “Valdivia spaces" using “Souslin’s $(A)$-operation” and some techniques based on the theory of universal mesurability. Some others particular cases are examined: when $E$ is a space of continuous real-valued functions, a product of locally convex spaces, etc.

Détail

Publié le : 1976-01-01

MR 56 #12806 | Zbl 0324.46043 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.629

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