Approximation polynomiale pondérée dans un domaine d’holomorphie de ${\bf C}^n$

Sibony, Nessim

Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976), p. 71-99 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $\Omega $ un domaine d’holomorphie de ${\bf C}^n$ et soit $\psi $ une fonction positive telle que pour tout $k>0$ on ait

supz∈Ω{ψ(z),[ min dist (z,Cn∖Ω),(1+|z|2)-1/2]k}<∞.

On note $H^p(\Omega ,\psi )$, $1\le p\le \infty $, l’espace des fonctions $f$ holomorphes dans $\Omega $ telles que $\Vert f\Vert _p=\big (\int _\Omega \vert f\vert ^p\psi \big )^{1/p}< \infty $. On donne des conditions nécessaires et des conditions suffisantes pour l’approximation des fonctions de $H^p(\Omega ,\psi )$ par des fonctions holomorphes dans un ouvert contenant $\Omega $, ou par des polynômes. On obtient comme cas particulier les résultats suivants :

a) les polynômes sont denses dans $H^p(\Omega ,{\rm exp}\, (-\Phi ))$ lorsque $\Omega $ est ouvert convexe (non borné) et $\Phi $ une fonction convexe dans $\Omega $,

b) les polynômes sont denses dans $H^p({\bf C}^n,{\rm exp}\, (-\Phi ))$, $1\le p\le \infty $, si $\Phi $ est plurisousharmonique homogène d’ordre $\rho >0$.

Abstract

Let $\Omega $ be a domain of holomorphy in ${\bf C}^n$ and let $\psi $ be a positive function in $\Omega $ such that

supz∈Ω{ψ(z),[ min dist (z,Cn∖Ω),(1+|z|2)-1/2]k}<∞

for all $k>0$. Let $H^p(\Omega ,\psi )$, be the space of holomorphic function $f$ on $\Omega $ such that $\Vert f\Vert _p=\big (\int _\Omega \vert f\vert ^p\psi \big )^{1/p}< \infty $. We study necessary and sufficient conditions for the density in $H^p(\Omega ,\psi )$ of functions holomorphic in larger open sets, or of polynomials. As application of more general results we have:

a) polynomials are dense in $H^p(\Omega ,{\rm exp}\,(-\Phi ))$ if $\Omega $ is convex and $\Phi $ is a convex function on $\Omega $,

b) polynomials are dense in $H^p({\bf C}^n,{\rm exp}\, (-\Phi ))$, if $\Phi $ is plurisubharmonic and homogeneous of order $\rho >0$.

Détail

Publié le : 1976-01-01

MR 55 #3317 | Zbl 0324.32014 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.615

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